Pré-calcul Exemples

$\cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{π}{3}$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3} + \frac{π}{4}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 3.3

Pour écrire $\frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Étape 3.4.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{4 \cdot π + π \cdot 3}{12}$

Étape 3.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{4 π + 3 \cdot π}{12}$

Étape 3.6.3

Additionnez $4 π$ et $3 π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{7 π}{12}$

Étape 4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{7 π}{12}$

Étape 5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{7 π}{12}$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3 \frac{7 π}{12}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$x = 3 \frac{7 π}{3 (4)}$

Étape 5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 3 \frac{7 π}{3 \cdot 4}$

Étape 5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 7.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.1.2

Associez les fractions.

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Étape 7.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 7.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 7.1.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{3}$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.2.1

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{3} + \frac{π}{4}$

Étape 7.2.2

Pour écrire $\frac{5 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 7.2.3

Pour écrire $\frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.4.1

Multipliez $\frac{5 π}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2.4.3

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Étape 7.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Étape 7.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.6.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{x}{3} = \frac{20 π + π \cdot 3}{12}$

Étape 7.2.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{20 π + 3 \cdot π}{12}$

Étape 7.2.6.3

Additionnez $20 π$ et $3 π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{23 π}{12}$

Étape 7.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{23 π}{12}$

Étape 7.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{23 π}{12}$

Étape 7.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3 \frac{23 π}{12}$

Étape 7.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.4.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$x = 3 \frac{23 π}{3 (4)}$

Étape 7.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 3 \frac{23 π}{3 \cdot 4}$

Étape 7.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{23 π}{4}$

Étape 8

Déterminez la période de $\cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{4})$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Étape 8.3

$\frac{1}{3}$ est d’environ $0.\overline{3}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Étape 8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 3$

Étape 8.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 π$

Étape 9

La période de la fonction $\cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{4})$ est $6 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $6 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{4} + 6 π n, \frac{23 π}{4} + 6 π n$ , pour tout entier $n$