Pré-calcul Exemples

{sin}^{2} (x) = \frac{1}{2}

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Simplifiez

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.2

Toute racine de

$1$ est

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 2.3

Multipliez

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.1

Multipliez

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.4.2

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.4.3

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.4.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.4.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.4.6

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

$2$ .

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Étape 2.4.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.4.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour

$x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Résolvez

$x$ dans

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 5.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 5.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

$π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{4}$

Étape 5.4

Simplifiez

$π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 5.4.1

Pour écrire

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.4.2.1

Associez

$π$ et

$\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.3.1

Déplacez

$4$ à gauche de

$π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 5.4.3.2

Soustrayez

$π$ de

$4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.5

Déterminez la période de

$\sin (x)$ .

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Étape 5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.5.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.5.4

Divisez

$2 π$ par

$1$ .

$2 π$

Étape 5.6

La période de la fonction

$\sin (x)$ est

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 6

Résolvez

$x$ dans

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 6.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est

$- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 6.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de

$2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à

$π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.4.1

Soustrayez

$2 π$ de

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Étape 6.4.2

L’angle résultant de

$\frac{5 π}{4}$ est positif, inférieur à

$2 π$ et coterminal avec

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 6.5

Déterminez la période de

$\sin (x)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez

$2 π$ par

$1$ .

$2 π$

Étape 6.6

Ajoutez

$2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.6.1

Ajoutez

$2 π$ à

$- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Étape 6.6.2

Pour écrire

$2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.6.3

Associez les fractions.

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Étape 6.6.3.1

Associez

$2 π$ et

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 6.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.4.1

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Étape 6.6.4.2

Soustrayez

$π$ de

$8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Étape 6.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 6.7

La période de la fonction

$\sin (x)$ est

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier

$n$