Pré-calcul Exemples

$(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Étape 1.1.2

Développez $(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) - 1) + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 1.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 1.1.3.2

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $- 1$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 1.1.3.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin (x)$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 \cdot \sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 1.1.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - 1 = 0$

Étape 1.1.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\sin (x) - \tan (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Étape 2

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4

Séparez les fractions.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 8.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 9

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 10

Séparez les fractions.

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 11

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \tan (x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 12

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 13.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 14

Séparez les fractions.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 15

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 16

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 17

Séparez les fractions.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 18

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 19

Divisez $0$ par $1$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0 \sec (x)$

Étape 20

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

Étape 21

Factorisez $\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x)$ .

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Étape 21.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 21.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

Étape 21.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\tan (x) \cdot (1 - \sec (x)) + 1 (1 - \sec (x)) = 0$

Étape 21.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $1 - \sec (x)$ .

$(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$

Étape 22

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$1 - \sec (x) = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

Étape 23

Définissez $1 - \sec (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 23.1

Définissez $1 - \sec (x)$ égal à $0$ .

$1 - \sec (x) = 0$

Étape 23.2

Résolvez $1 - \sec (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 23.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \sec (x) = - 1$

Étape 23.2.2

Divisez chaque terme dans $- \sec (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 23.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \sec (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sec (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 23.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 23.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sec (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 23.2.2.2.2

Divisez $\sec (x)$ par $1$ .

$\sec (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 23.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 23.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\sec (x) = 1$

Étape 23.2.3

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (1)$

Étape 23.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 23.2.4.1

La valeur exacte de $arcsec (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 23.2.5

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 23.2.6

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 23.2.7

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 23.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 23.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 23.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 23.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 23.2.8

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 24

Définissez $\tan (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 24.1

Définissez $\tan (x) + 1$ égal à $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Étape 24.2

Résolvez $\tan (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 24.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = - 1$

Étape 24.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 24.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 24.2.3.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 24.2.4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 24.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 24.2.5.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 24.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 24.2.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 24.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 24.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 24.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 24.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 24.2.7

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 24.2.7.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 24.2.7.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 24.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 24.2.7.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 24.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 24.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 24.2.7.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 24.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 24.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 24.2.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 25

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 26

Consolidez $2 π n$ et $2 π + 2 π n$ en $2 π n$ .

$x = 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$