Pré-calcul Exemples

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{16} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{16} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 3$

$b = 4$

$k = 5$

$h = - 4$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 4, 5)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + 16}$

Étape 5.3.3

Additionnez $9$ et $16$ .

$\sqrt{25}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$5$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 1, 5)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 7, 5)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(- 1, 5), (- 7, 5)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1, 5)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 9, 5)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(1, 5), (- 9, 5)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}}{3}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}}}{3}$

Étape 8.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16}}{3}$

Étape 8.3.3

Additionnez $9$ et $16$ .

$\frac{\sqrt{25}}{3}$

Étape 8.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{3}$

Étape 8.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5}{3}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{4^{2}}{5}$

Étape 9.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{16}{5}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 4)) + 5$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 4)) + 5$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 4)) + 5$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 4) + 5$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 4 + 5$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{4}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 4 + 5$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot 4$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $4$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot 4}{3} + 5$

Étape 11.2.1.4.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 5$

Étape 11.2.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.2.3

Associez $5$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 5 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 15}{3}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $16$ et $15$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{31}{3}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 4)) + 5$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 4)) + 5$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 4) + 5$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 4 + 5$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 4 + 5$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- \frac{4}{3} \cdot 4$ .

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Étape 12.2.1.4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 4 (\frac{4}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.4.2

Associez $- 4$ et $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4 \cdot 4}{3} + 5$

Étape 12.2.1.4.3

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 16}{3} + 5$

Étape 12.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.5.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{4 \cdot x}{3} + \frac{- 16}{3} + 5$

Étape 12.2.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{16}{3} + 5$

Étape 12.2.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{16}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 12.2.3

Associez $5$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{16}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 16 + 5 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.5.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 16 + 15}{3}$

Étape 12.2.5.2

Additionnez $- 16$ et $15$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 12.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{31}{3}, y = - \frac{4 x}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(- 4, 5)$

Sommets : $(- 1, 5), (- 7, 5)$

Foyers : $(1, 5), (- 9, 5)$

Excentricité : $\frac{5}{3}$

Paramètre focal : $\frac{16}{5}$

Asymptotes : $y = \frac{4 x}{3} + \frac{31}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 15