Pré-calcul Exemples

$\sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 1

Remplacez le $- 2 \cos^{2} (x)$ par $- 2 (1 - \sin^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sin (x) - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\sin (x) - 2 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\sin (x) - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 = 0$

Étape 4

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 1$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.3

Additionnez $1$ et $16$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Étape 10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$ .

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Étape 11.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 0.89590748$

Étape 11.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$

Étape 11.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 11.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 11.4.2

L’angle résultant de $2.24568517$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ .

$x = 2.24568517$

Étape 11.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ .

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Étape 12.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 13

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ , pour tout entier $n$