Pré-calcul Exemples

$\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ par $\tan (\frac{x}{2})$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ par $\tan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\tan (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $\tan (\frac{x}{2})$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\tan (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $\tan (\frac{x}{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}}$

Étape 1.3.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$1 = \sin (\frac{x}{2}) \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

Étape 1.3.3

Écrivez $\sin (\frac{x}{2})$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{1} \cdot \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

Étape 1.3.4

Annulez le facteur commun de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Étape 1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{1} \cdot \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

Étape 1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \cos (\frac{x}{2})$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $\cos (\frac{x}{2}) = 1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 1$

Étape 3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{2} = \arccos (1)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Étape 5

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} = 2 π - 0$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - 0)$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - 0)$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (2 π - 0)$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $2 (2 π - 0)$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 (2 π)$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 4 π$

Étape 8

Déterminez la période de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 8.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 8.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 9

La période de la fonction $\cos (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = 4 π n, 4 π + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les réponses.

$x = 4 π n$ , pour tout entier $n$