Pré-calcul Exemples

$2^{2 x} + 2^{x + 2} = 12$

Étape 1

Réécrivez $2^{x + 2}$ comme $2^{x} \cdot 2^{2}$ .

$2^{2 x} + 2^{x} \cdot 2^{2} = 12$

Étape 2

Réécrivez $2^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(2^{x})}^{2} + 2^{x} \cdot 2^{2} = 12$

Étape 3

Remplacez $2^{x}$ par $u$ .

$u^{2} + u \cdot 2^{2} = 12$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u^{2} + u \cdot 4 = 12$

Étape 4.2

Déplacez $4$ à gauche de $u$ .

$u^{2} + 4 u = 12$

Étape 5

Résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 4 u - 12 = 0$

Étape 5.2

Factorisez $u^{2} + 4 u - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $4$ .

$- 2, 6$

Étape 5.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u + 6) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 6 = 0$

Étape 5.4

Définissez $u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 5.5

Définissez $u + 6$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $u + 6$ égal à $0$ .

$u + 6 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 6$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 2) (u + 6) = 0$ vraie.

$u = 2, - 6$

Étape 6

Remplacez $u$ par $2$ dans $u = 2^{x}$ .

$2 = 2^{x}$

Étape 7

Résolvez $2 = 2^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $2^{x} = 2$ .

$2^{x} = 2$

Étape 7.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{x} = 2^{1}$

Étape 7.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 1$

Étape 8

Remplacez $u$ par $- 6$ dans $u = 2^{x}$ .

$- 6 = 2^{x}$

Étape 9

Résolvez $- 6 = 2^{x}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $2^{x} = - 6$ .

$2^{x} = - 6$

Étape 9.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 6)$

Étape 9.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 6)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 9.4

Il n’y a pas de solution pour $2^{x} = - 6$

Aucune solution

Étape 10

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = 1$