Pré-calcul Exemples

$\frac{4}{3^{1 - x}} = 5^{x}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (\frac{4}{3^{1 - x}}) = \ln (5^{x})$

Étape 2

Réécrivez $\ln (\frac{4}{3^{1 - x}})$ comme $\ln (4) - \ln (3^{1 - x})$ .

$\ln (4) - \ln (3^{1 - x}) = \ln (5^{x})$

Étape 3

Développez $\ln (3^{1 - x})$ en déplaçant $1 - x$ hors du logarithme.

$\ln (4) - ((1 - x) \ln (3)) = \ln (5^{x})$

Étape 4

Supprimez les parenthèses.

$\ln (4) - (1 - x) \ln (3) = \ln (5^{x})$

Étape 5

Développez $\ln (5^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (4) - (1 - x) \ln (3) = x \ln (5)$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (4) + (- 1 \cdot 1 + x) \ln (3) = x \ln (5)$

Étape 6.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (4) + (- 1 + x) \ln (3) = x \ln (5)$

Étape 6.1.1.3

Multipliez $- - x$ .

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Étape 6.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (4) + (- 1 + 1 x) \ln (3) = x \ln (5)$

Étape 6.1.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (4) + (- 1 + x) \ln (3) = x \ln (5)$

Étape 6.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (4) - 1 \ln (3) + x \ln (3) = x \ln (5)$

Étape 6.1.1.5

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$\ln (4) - \ln (3) + x \ln (3) = x \ln (5)$

Étape 6.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{3}) + x \ln (3) = x \ln (5)$

Étape 6.1.3

Remettez dans l’ordre $\ln (\frac{4}{3})$ et $x \ln (3)$ .

$x \ln (3) + \ln (\frac{4}{3}) = x \ln (5)$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (3) + \ln (\frac{4}{3}) - x \ln (5) = 0$

Étape 6.3

Soustrayez $\ln (\frac{4}{3})$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (\frac{4}{3})$

Étape 6.4

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3) - x \ln (5)$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - x \ln (5) = - \ln (\frac{4}{3})$

Étape 6.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (5)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (\frac{4}{3})$

Étape 6.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (\ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (\frac{4}{3})$

Étape 6.5

Réécrivez $- 1 \ln (5)$ comme $- \ln (5)$ .

$x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{4}{3})$

Étape 6.6

Divisez chaque terme dans $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{4}{3})$ par $\ln (3) - \ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 6.6.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{4}{3})$ par $\ln (3) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{4}{3})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 6.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3) - \ln (5)$ .

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Étape 6.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{4}{3})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 6.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{4}{3})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 6.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{4}{3})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (\frac{4}{3})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Forme décimale :

$x = 0.56317079 \dots$