Pré-calcul Exemples

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = 3$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{x} - e^{- x}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{x} + e^{- x} = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $3 (e^{x} - e^{- x})$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} + 3 (- e^{- x})$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Étape 3.2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u + u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Étape 3.4

Réécrivez $e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Étape 3.5

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Étape 3.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Étape 3.6.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u + \frac{- 3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Étape 3.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$u + \frac{1}{u} = 3 u - \frac{3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Étape 3.7

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.7.1

Soustrayez $3 e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} = - 3 e^{- x}$

Étape 3.7.2

Ajoutez $3 e^{- x}$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Étape 3.7.3

Soustrayez $3 e^{x}$ de $e^{x}$ .

$e^{- x} - 2 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Étape 3.7.4

Additionnez $e^{- x}$ et $3 e^{- x}$ .

$4 e^{- x} - 2 e^{x} = 0$

Étape 3.8

Déplacez $- 2 e^{x}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$4 e^{- x} = 2 e^{x}$

Étape 3.9

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4 e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Étape 3.10

Développez le côté gauche.

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Étape 3.10.1

Réécrivez $\ln (4 e^{- x})$ comme $\ln (4) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Étape 3.10.2

Développez $\ln (e^{- x})$ en déplaçant $- x$ hors du logarithme.

$\ln (4) - x \ln (e) = \ln (2 e^{x})$

Étape 3.10.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (4) - x \cdot 1 = \ln (2 e^{x})$

Étape 3.10.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2 e^{x})$

Étape 3.11

Développez le côté droit.

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Étape 3.11.1

Réécrivez $\ln (2 e^{x})$ comme $\ln (2) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + \ln (e^{x})$

Étape 3.11.2

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \ln (e)$

Étape 3.11.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \cdot 1$

Étape 3.11.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x$

Étape 3.12

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (4) - \ln (2) = x + x$

Étape 3.13

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{2}) = x + x$

Étape 3.14

Divisez $4$ par $2$ .

$\ln (2) = x + x$

Étape 3.15

Additionnez $x$ et $x$ .

$\ln (2) = 2 x$

Étape 3.16

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 x = \ln (2)$

Étape 3.17

Divisez chaque terme dans $2 x = \ln (2)$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.17.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \ln (2)$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Étape 3.17.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.17.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.17.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Étape 3.17.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Forme décimale :

$x = 0.34657359 \dots$