Pré-calcul Exemples

${(2.221)}^{x} = (\frac{1}{2}) ({0.75}^{x + 2})$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln ({2.221}^{x}) = \ln (\frac{1}{2} \cdot {0.75}^{x + 2})$

Étape 2

Développez $\ln ({2.221}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (2.221) = \ln (\frac{1}{2} \cdot {0.75}^{x + 2})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{1}{2} \cdot {0.75}^{x + 2})$ comme $\ln (\frac{1}{2}) + \ln ({0.75}^{x + 2})$ .

$x \ln (2.221) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln ({0.75}^{x + 2})$

Étape 4

Réécrivez $\ln (\frac{1}{2})$ comme $\ln (1) - \ln (2)$ .

$x \ln (2.221) = \ln (1) - \ln (2) + \ln ({0.75}^{x + 2})$

Étape 5

Développez $\ln ({0.75}^{x + 2})$ en déplaçant $x + 2$ hors du logarithme.

$x \ln (2.221) = \ln (1) - \ln (2) + (x + 2) \ln (0.75)$

Étape 6

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x \ln (2.221) = 0 - \ln (2) + (x + 2) \ln (0.75)$

Étape 7

Soustrayez $\ln (2)$ de $0$ .

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + (x + 2) \ln (0.75)$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + x \ln (0.75) + 2 \ln (0.75)$

Étape 8.1.1.2

Simplifiez $2 \ln (0.75)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + x \ln (0.75) + \ln ({0.75}^{2})$

Étape 8.1.1.3

Élevez $0.75$ à la puissance $2$ .

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + x \ln (0.75) + \ln (0.5625)$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (2.221) + \ln (2) - x \ln (0.75) - \ln (0.5625) = 0$

Étape 8.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2.221) - x \ln (0.75) + \ln (\frac{2}{0.5625}) = 0$

Étape 8.4

Divisez $2$ par $0.5625$ .

$x \ln (2.221) - x \ln (0.75) + \ln (3.\overline{5}) = 0$

Étape 8.5

Soustrayez $\ln (3.\overline{5})$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (2.221) - x \ln (0.75) = - \ln (3.\overline{5})$

Étape 8.6

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2.221) - x \ln (0.75)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2.221)$ .

$x (\ln (2.221)) - x \ln (0.75) = - \ln (3.\overline{5})$

Étape 8.6.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (0.75)$ .

$x (\ln (2.221)) + x (- 1 \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$

Étape 8.6.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (2.221)) + x (- 1 \ln (0.75))$ .

$x (\ln (2.221) - 1 \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$

Étape 8.7

Réécrivez $- 1 \ln (0.75)$ comme $- \ln (0.75)$ .

$x (\ln (2.221) - \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$

Étape 8.8

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2.221) - \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$ par $\ln (2.221) - \ln (0.75)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2.221) - \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$ par $\ln (2.221) - \ln (0.75)$ .

$\frac{x (\ln (2.221) - \ln (0.75))}{\ln (2.221) - \ln (0.75)} = \frac{- \ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Étape 8.8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2.221) - \ln (0.75)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (2.221) - \ln (0.75))}{\ln (2.221) - \ln (0.75)} = \frac{- \ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Étape 8.8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Étape 8.8.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Forme décimale :

$x = - 1.16844605 \dots$