Pré-calcul Exemples

${(0.25)}^{5} = 4^{\frac{5 x - 3}{3}} {(0.125)}^{6 x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x} = {0.25}^{5}$ .

$4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x} = {0.25}^{5}$

Étape 2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x}) = \ln ({0.25}^{5})$

Étape 3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.1

Réécrivez $\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x})$ comme $\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}}) + \ln ({0.125}^{6 x})$ .

$\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}}) + \ln ({0.125}^{6 x}) = \ln ({0.25}^{5})$

Étape 3.2

Développez $\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}})$ en déplaçant $\frac{5 x - 3}{3}$ hors du logarithme.

$\frac{5 x - 3}{3} \ln (4) + \ln ({0.125}^{6 x}) = \ln ({0.25}^{5})$

Étape 3.3

Développez $\ln ({0.125}^{6 x})$ en déplaçant $6 x$ hors du logarithme.

$\frac{5 x - 3}{3} \ln (4) + 6 x \ln (0.125) = \ln ({0.25}^{5})$

Étape 3.4

Associez $\frac{5 x - 3}{3}$ et $\ln (4)$ .

$\frac{(5 x - 3) \ln (4)}{3} + 6 x \ln (0.125) = \ln ({0.25}^{5})$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(5 x - 3) \ln (4)}{3} + 6 x \ln (0.125)$ .

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + 6 x \ln (0.125) = \ln ({0.25}^{5})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Élevez $0.25$ à la puissance $5$ .

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + 6 x \ln (0.125) = \ln (0.00097656)$

Étape 6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1

Pour écrire $6 x \ln (0.125)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + 6 x \ln (0.125) \cdot \frac{3}{3} = \ln (0.00097656)$

Étape 6.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.1

Associez $6 x \ln (0.125)$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + \frac{6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

Étape 6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (4) (5 x - 3) + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln (4) (5 x) + \ln (4) \cdot - 3 + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

Étape 6.3.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $\ln (4)$ .

$\frac{\ln (4) \cdot (5 x) - 3 \cdot \ln (4) + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

Étape 6.3.3

Déplacez $5$ à gauche de $\ln (4)$ .

$\frac{5 \ln (4) x - 3 \ln (4) + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

Étape 6.3.4

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{5 \ln (4) x - 3 \ln (4) + 18 x \ln (0.125)}{3} = \ln (0.00097656)$

Étape 6.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} = \ln (0.00097656)$

Étape 7

Multipliez les deux côtés par $3$ .

$\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} \cdot 3 = \ln (0.00097656) \cdot 3$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.1.1

Simplifiez $\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} \cdot 3$ .

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Étape 8.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} \cdot 3 = \ln (0.00097656) \cdot 3$

Étape 8.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4) = \ln (0.00097656) \cdot 3$

Étape 8.1.1.2

Remettez dans l’ordre $5 x \ln (4)$ et $18 x \ln (0.125)$ .

$18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4) - 3 \ln (4) = \ln (0.00097656) \cdot 3$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (0.00097656)$ .

$18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4) - 3 \ln (4) = 3 \ln (0.00097656)$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Ajoutez $3 \ln (4)$ aux deux côtés de l’équation.

$18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

Étape 9.2

Factorisez $x$ à partir de $18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4)$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $x$ à partir de $18 x \ln (0.125)$ .

$x (18 \ln (0.125)) + 5 x \ln (4) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

Étape 9.2.2

Factorisez $x$ à partir de $5 x \ln (4)$ .

$x (18 \ln (0.125)) + x (5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

Étape 9.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (18 \ln (0.125)) + x (5 \ln (4))$ .

$x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

Étape 9.3

Divisez chaque terme dans $x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ par $18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)$ et simplifiez.

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Étape 9.3.1

Divisez chaque terme dans $x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ par $18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)$ .

$\frac{x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} = \frac{3 \ln (0.00097656)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} + \frac{3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1

Annulez le facteur commun de $18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} = \frac{3 \ln (0.00097656)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} + \frac{3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Étape 9.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3 \ln (0.00097656)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} + \frac{3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Étape 9.3.3.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ .

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Étape 9.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \ln (0.00097656)$ .

$x = \frac{3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Étape 9.3.3.2.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \ln (4)$ .

$x = \frac{3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Étape 9.3.3.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ .

$x = \frac{3 (\ln (0.00097656) + \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{3 (\ln (0.00097656) + \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Forme décimale :

$x = 0.\overline{54}$