Pré-calcul Exemples

${(\frac{4}{5})}^{6 x + 1} = \frac{5}{4}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{4}{5})}^{6 x + 1}) = \ln (\frac{5}{4})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln ({(\frac{4}{5})}^{6 x + 1})$ en déplaçant $6 x + 1$ hors du logarithme.

$(6 x + 1) \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (\frac{4}{5})$ comme $\ln (4) - \ln (5)$ .

$(6 x + 1) (\ln (4) - \ln (5)) = \ln (\frac{5}{4})$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $(6 x + 1) (\ln (4) - \ln (5))$ .

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Étape 3.1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$(6 x + 1) \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + 1 \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Étape 3.1.3

Multipliez $\ln (\frac{4}{5})$ par $1$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5}) - \ln (\frac{5}{4}) = 0$

Étape 5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{\frac{4}{5}}{\frac{5}{4}}) = 0$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}) = 0$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}$ .

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{4}{5}$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 5}) = 0$

Étape 6.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{16}{5 \cdot 5}) = 0$

Étape 6.2.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{16}{25}) = 0$

Étape 7

Soustrayez $\ln (\frac{16}{25})$ des deux côtés de l’équation.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$ par $6 \ln (\frac{4}{5})$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$ par $6 \ln (\frac{4}{5})$ .

$\frac{6 x \ln (\frac{4}{5})}{6 \ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x \ln (\frac{4}{5})}{6 \ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Étape 8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (\frac{4}{5})}{\ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (\frac{4}{5})$ .

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (\frac{4}{5})}{\ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Étape 8.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Forme décimale :

$x = - 0.\overline{3}$