Pré-calcul Exemples

${(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1} = 8$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1}) = \ln (8)$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1})$ en déplaçant $x - 1$ hors du logarithme.

$(x - 1) \ln (2^{2 x} \cdot 2^{2 x}) = \ln (8)$

Étape 2.2

Multipliez $2^{2 x}$ par $2^{2 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x - 1) \ln (2^{2 x + 2 x}) = \ln (8)$

Étape 2.2.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$(x - 1) \ln (2^{4 x}) = \ln (8)$

Étape 2.3

Développez $\ln (2^{4 x})$ en déplaçant $4 x$ hors du logarithme.

$(x - 1) (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $(x - 1) (4 x \ln (2))$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (4 x \ln (2)) - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Étape 3.1.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \ln (2) x \cdot x - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Étape 3.1.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 \ln (2) x \cdot x - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

Étape 3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$4 \ln (2) (x \cdot x) - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 \ln (2) x^{2} - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

$4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

Étape 3.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2)$ .

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) - \ln (8) = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = 4 \ln (2)$ , $b = - 4 \ln (2)$ et $c = - \ln (8)$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 \ln (2) \cdot (- \ln (8)))}}{2 (4 \ln (2))}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.2

Laissez $u = 4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ . Remplacez toutes les occurrences de $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ par $u$ .

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Étape 7.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 4 \ln (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (2) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.3

Factorisez $4$ à partir de $16 \ln^{2} (2) - 4 u$ .

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Étape 7.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16 \ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (- \ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (- 4 (\ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.5.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.6

Factorisez $4 \ln (2)$ à partir de $4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ .

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Étape 7.1.6.1

Factorisez $4 \ln (2)$ à partir de $4 \ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.6.2

Factorisez $4 \ln (2)$ à partir de $4 \ln (2) \ln (8)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.6.3

Factorisez $4 \ln (2)$ à partir de $4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 \cdot (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.8

Réécrivez $16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))$ comme ${(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))$ .

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Étape 7.1.8.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 2^{2} \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$ .

$x = \frac{\ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Forme décimale :

$x = 1.5, - 0.5$