Pré-calcul Exemples

${(8 x)}^{- 3} = 64$

Étape 1

Simplifiez ${(8 x)}^{- 3}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(8 x)}^{3}} = 64$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de produit à $8 x$ .

$\frac{1}{8^{3} x^{3}} = 64$

Étape 1.2.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{512 x^{3}} = 64$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$512 x^{3}, 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$512 x^{3}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{512 x^{3}} = 64$ par $512 x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{512 x^{3}} = 64$ par $512 x^{3}$ .

$\frac{1}{512 x^{3}} (512 x^{3}) = 64 (512 x^{3})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$512 \frac{1}{512 x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $512$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $512$ à partir de $512 x^{3}$ .

$512 \frac{1}{512 (x^{3})} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$512 \frac{1}{512 x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 64 (512 x^{3})$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez $512$ par $64$ .

$1 = 32768 x^{3}$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $32768 x^{3} = 1$ .

$32768 x^{3} = 1$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$32768 x^{3} - 1 = 0$

Étape 4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $32768 x^{3}$ comme ${(32 x)}^{3}$ .

${(32 x)}^{3} - 1 = 0$

Étape 4.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

${(32 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 4.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 32 x$ et $b = 1$ .

$(32 x - 1) ({(32 x)}^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 4.3.4

Simplifiez

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Étape 4.3.4.1

Appliquez la règle de produit à $32 x$ .

$(32 x - 1) (32^{2} x^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 4.3.4.2

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 4.3.4.3

Multipliez $32$ par $1$ .

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1^{2}) = 0$

Étape 4.3.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$32 x - 1 = 0$

$1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$

Étape 4.5

Définissez $32 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $32 x - 1$ égal à $0$ .

$32 x - 1 = 0$

Étape 4.5.2

Résolvez $32 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$32 x = 1$

Étape 4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $32 x = 1$ par $32$ et simplifiez.

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Étape 4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $32 x = 1$ par $32$ .

$\frac{32 x}{32} = \frac{1}{32}$

Étape 4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $32$ .

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Étape 4.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{32 x}{32} = \frac{1}{32}$

Étape 4.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{32}$

Étape 4.6

Définissez $1024 x^{2} + 32 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $1024 x^{2} + 32 x + 1$ égal à $0$ .

$1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez $1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1024$ , $b = 32$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (1024 \cdot 1)}}{2 \cdot 1024}$

Étape 4.6.2.3

Simplifiez

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Étape 4.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.2.3.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 1024 \cdot 1}}{2 \cdot 1024}$

Étape 4.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1024 \cdot 1$ .

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Étape 4.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4096 \cdot 1}}{2 \cdot 1024}$

Étape 4.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4096$ par $1$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4096}}{2 \cdot 1024}$

Étape 4.6.2.3.1.3

Soustrayez $4096$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 3072}}{2 \cdot 1024}$

Étape 4.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 3072$ comme $- 1 (3072)$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3072}}{2 \cdot 1024}$

Étape 4.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3072)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3072}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3072}}{2 \cdot 1024}$

Étape 4.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{3072}}{2 \cdot 1024}$

Étape 4.6.2.3.1.7

Réécrivez $3072$ comme $32^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.6.2.3.1.7.1

Factorisez $1024$ à partir de $3072$ .

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{1024 (3)}}{2 \cdot 1024}$

Étape 4.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $1024$ comme $32^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{32^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1024}$

Étape 4.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot (32 \sqrt{3})}{2 \cdot 1024}$

Étape 4.6.2.3.1.9

Déplacez $32$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1024}$

Étape 4.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2048}$

Étape 4.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2048}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{64}$

Étape 4.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{64}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{64}$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{32}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{64}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{64}$