Pré-calcul Exemples

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Étape 1

Remplacez le $\csc^{2} (u)$ par $\cot^{2} (u) + 1$ d’après l’identité $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (u) + 1) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Étape 2

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1 = \cot^{2} (u)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1$ .

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Étape 3.1.1

Déplacez $1$ .

$\cot^{2} (u) + 1 - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Étape 3.1.2

Réorganisez les termes.

$1 + \cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Étape 3.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Étape 3.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.4.1.1

Réécrivez $\csc (u)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Étape 3.1.4.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (u)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Étape 3.1.4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Étape 3.1.4.1.4

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.4.1.4.1

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\cos (u) \sec (u)) = \cot^{2} (u)$

Étape 3.1.4.1.4.2

Remettez dans l’ordre $\cos (u)$ et $\sec (u)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\sec (u) \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Étape 3.1.4.1.4.3

Réécrivez $- \cos (u) \sec (u)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\frac{1}{\cos (u)} \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Étape 3.1.4.1.4.4

Annulez les facteurs communs.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 \cdot 1 = \cot^{2} (u)$

Étape 3.1.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Étape 3.1.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.4.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Étape 3.1.4.2.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)}$ comme ${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - 1 = \cot^{2} (u)$

Étape 3.1.4.2.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin (u)}$ à $\csc (u)$ .

$\csc^{2} (u) - 1 = \cot^{2} (u)$

Étape 3.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cot^{2} (u) = \cot^{2} (u)$

Étape 4

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$| \cot (u) | = | \cot (u) |$

Étape 5

Résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

$- \cot (u) = \cot (u)$

$- \cot (u) = - \cot (u)$

Étape 5.2

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

Étape 5.3

Résolvez $\cot (u) = \cot (u)$ pour $u$ .

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Étape 5.3.1

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$u = u$

Étape 5.3.2

Déplacez tous les termes contenant $u$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $u$ des deux côtés de l’équation.

$u - u = 0$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $u$ de $u$ .

$0 = 0$

Étape 5.3.3

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Tous les nombres réels

Étape 5.4

Résolvez $\cot (u) = - \cot (u)$ pour $u$ .

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Étape 5.4.1

Déplacez tous les termes contenant $\cot (u)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.4.1.1

Ajoutez $\cot (u)$ aux deux côtés de l’équation.

$\cot (u) + \cot (u) = 0$

Étape 5.4.1.2

Additionnez $\cot (u)$ et $\cot (u)$ .

$2 \cot (u) = 0$

Étape 5.4.2

Divisez chaque terme dans $2 \cot (u) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cot (u) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Divisez $\cot (u)$ par $1$ .

$\cot (u) = \frac{0}{2}$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\cot (u) = 0$

Étape 5.4.3

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $u$ de l’intérieur de la cotangente.

$u = arccot (0)$

Étape 5.4.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.4.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

Étape 5.4.5

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$u = π + \frac{π}{2}$

Étape 5.4.6

Simplifiez $π + \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.4.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$u = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 5.4.6.2

Associez les fractions.

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Étape 5.4.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 5.4.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 5.4.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.6.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$u = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 5.4.6.3.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.4.7

Déterminez la période de $\cot (u)$ .

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Étape 5.4.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.4.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.4.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.4.7.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.4.8

La période de la fonction $\cot (u)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$u = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez les réponses.

$u = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$