Pré-calcul Exemples

$\log_{3} (s + 45) - \log_{3} (s + 5) = \log_{3} (s)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{s + 45}{s + 5}) = \log_{3} (s)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$\frac{s + 45}{s + 5} = s$

Étape 3

Résolvez $s$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$s + 5, 1$

Étape 3.1.2

Supprimez les parenthèses.

$s + 5, 1$

Étape 3.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$s + 5$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{s + 45}{s + 5} = s$ par $s + 5$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{s + 45}{s + 5} = s$ par $s + 5$ .

$\frac{s + 45}{s + 5} (s + 5) = s (s + 5)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $s + 5$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{s + 45}{s + 5} (s + 5) = s (s + 5)$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$s + 45 = s (s + 5)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$s + 45 = s \cdot s + s \cdot 5$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.3.2.1

Multipliez $s$ par $s$ .

$s + 45 = s^{2} + s \cdot 5$

Étape 3.2.3.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $s$ .

$s + 45 = s^{2} + 5 s$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Comme $s$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$s^{2} + 5 s = s + 45$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes contenant $s$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $s$ des deux côtés de l’équation.

$s^{2} + 5 s - s = 45$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $s$ de $5 s$ .

$s^{2} + 4 s = 45$

Étape 3.3.3

Soustrayez $45$ des deux côtés de l’équation.

$s^{2} + 4 s - 45 = 0$

Étape 3.3.4

Factorisez $s^{2} + 4 s - 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 45$ et dont la somme est $4$ .

$- 5, 9$

Étape 3.3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(s - 5) (s + 9) = 0$

Étape 3.3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$s - 5 = 0$

$s + 9 = 0$

Étape 3.3.6

Définissez $s - 5$ égal à $0$ et résolvez $s$ .

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Étape 3.3.6.1

Définissez $s - 5$ égal à $0$ .

$s - 5 = 0$

Étape 3.3.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$s = 5$

Étape 3.3.7

Définissez $s + 9$ égal à $0$ et résolvez $s$ .

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Étape 3.3.7.1

Définissez $s + 9$ égal à $0$ .

$s + 9 = 0$

Étape 3.3.7.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$s = - 9$

Étape 3.3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(s - 5) (s + 9) = 0$ vraie.

$s = 5, - 9$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{3} (s + 45) - \log_{3} (s + 5) = \log_{3} (s)$ vrai.

$s = 5$