Pré-calcul Exemples

$p = \frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ .

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

${(r + R)}^{2}, 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

${(r + R)}^{2}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ par ${(r + R)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ par ${(r + R)}^{2}$ .

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} {(r + R)}^{2} = p {(r + R)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de ${(r + R)}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} {(r + R)}^{2} = p {(r + R)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$a^{2} R = p {(r + R)}^{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez $p {(r + R)}^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez ${(r + R)}^{2}$ comme $(r + R) (r + R)$ .

$a^{2} R = p ((r + R) (r + R))$

Étape 4.1.2

Développez $(r + R) (r + R)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} R = p (r (r + R) + R (r + R))$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} R = p (r \cdot r + r R + R (r + R))$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} R = p (r \cdot r + r R + R r + R \cdot R)$

Étape 4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1.1

Multipliez $r$ par $r$ .

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + R r + R \cdot R)$

Étape 4.1.3.1.2

Multipliez $R$ par $R$ .

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + R r + R^{2})$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $r R$ et $R r$ .

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Étape 4.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $R$ et $r$ .

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + r R + R^{2})$

Étape 4.1.3.2.2

Additionnez $r R$ et $r R$ .

$a^{2} R = p (r^{2} + 2 r R + R^{2})$

Étape 4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} R = p r^{2} + p (2 r R) + p R^{2}$

Étape 4.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} R = p r^{2} + 2 p r R + p R^{2}$

Étape 4.2

Comme $R$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$p r^{2} + 2 p r R + p R^{2} = a^{2} R$

Étape 4.3

Soustrayez $a^{2} R$ des deux côtés de l’équation.

$p r^{2} + 2 p r R + p R^{2} - a^{2} R = 0$

Étape 4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs $a = p$ , $b = 2 p r - a^{2}$ et $c = p r^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $R$ .

$\frac{- (2 p r - a^{2}) \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (p \cdot (p r^{2}))}}{2 p}$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$R = \frac{- (2 p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$R = \frac{- 2 (p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Étape 4.6.3

Multipliez $- - a^{2}$ .

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Étape 4.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$R = \frac{- 2 (p r) + 1 a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Étape 4.6.3.2

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$R = \frac{- 2 (p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Étape 4.6.4

Réécrivez $4 \cdot p \cdot (p r^{2})$ comme ${(2 p r)}^{2}$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - {(2 p r)}^{2}}}{2 p}$

Étape 4.6.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 p r - a^{2}$ et $b = 2 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(2 p r - a^{2} + 2 p r) (2 p r - a^{2} - (2 p r))}}{2 p}$

Étape 4.6.6

Simplifiez

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Étape 4.6.6.1

Additionnez $2 p r$ et $2 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (2 p r - a^{2} - (2 p r))}}{2 p}$

Étape 4.6.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (2 p r - a^{2} - 2 (p r))}}{2 p}$

Étape 4.6.6.3

Soustrayez $2 p r$ de $2 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (- a^{2} + 0)}}{2 p}$

Étape 4.6.6.4

Additionnez $- a^{2}$ et $0$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) \cdot (- 1 a^{2})}}{2 p}$

Étape 4.6.6.5

Factorisez le signe négatif.

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- ((- a^{2} + 4 p r) a^{2})}}{2 p}$

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r) a^{2}}}{2 p}$

Étape 4.6.7

Réécrivez $- (- a^{2} + 4 p r) a^{2}$ comme $a^{2} \cdot (- (- a^{2} + 2^{2} p r))$ .

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Étape 4.6.7.1

Déplacez $- a^{2} + 4 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- 1 a^{2} (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

Étape 4.6.7.2

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $a^{2}$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 (- a^{2} + 4 p r))}}{2 p}$

Étape 4.6.7.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 (- a^{2} + 2^{2} p r))}}{2 p}$

Étape 4.6.7.4

Ajoutez des parenthèses.

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- (- a^{2} + 2^{2} p r))}}{2 p}$

Étape 4.6.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm a \sqrt{- (- a^{2} + 2^{2} p r)}}{2 p}$

Étape 4.6.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

Étape 4.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$R = - \frac{2 p r - a^{2} - a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} + a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} - a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} + a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$