Pré-calcul Exemples

$20000 {(0.92)}^{t} = 16000 {(0.93)}^{t}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (20000 \cdot {0.92}^{t}) = \ln (16000 \cdot {0.93}^{t})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (20000 \cdot {0.92}^{t})$ comme $\ln (20000) + \ln ({0.92}^{t})$ .

$\ln (20000) + \ln ({0.92}^{t}) = \ln (16000 \cdot {0.93}^{t})$

Étape 2.2

Développez $\ln ({0.92}^{t})$ en déplaçant $t$ hors du logarithme.

$\ln (20000) + t \ln (0.92) = \ln (16000 \cdot {0.93}^{t})$

Étape 3

Développez le côté droit.

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Étape 3.1

Réécrivez $\ln (16000 \cdot {0.93}^{t})$ comme $\ln (16000) + \ln ({0.93}^{t})$ .

$\ln (20000) + t \ln (0.92) = \ln (16000) + \ln ({0.93}^{t})$

Étape 3.2

Développez $\ln ({0.93}^{t})$ en déplaçant $t$ hors du logarithme.

$\ln (20000) + t \ln (0.92) = \ln (16000) + t \ln (0.93)$

Étape 4

Remettez dans l’ordre $\ln (20000)$ et $t \ln (0.92)$ .

$t \ln (0.92) + \ln (20000) = \ln (16000) + t \ln (0.93)$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $\ln (16000)$ et $t \ln (0.93)$ .

$t \ln (0.92) + \ln (20000) = t \ln (0.93) + \ln (16000)$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$t \ln (0.92) + \ln (20000) - t \ln (0.93) - \ln (16000) = 0$

Étape 7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) + \ln (\frac{20000}{16000}) = 0$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $20000$ et $16000$ .

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Étape 8.1

Factorisez $4000$ à partir de $20000$ .

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) + \ln (\frac{4000 (5)}{16000}) = 0$

Étape 8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.1

Factorisez $4000$ à partir de $16000$ .

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) + \ln (\frac{4000 \cdot 5}{4000 \cdot 4}) = 0$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) + \ln (\frac{4000 \cdot 5}{4000 \cdot 4}) = 0$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) + \ln (\frac{5}{4}) = 0$

Étape 9

Soustrayez $\ln (\frac{5}{4})$ des deux côtés de l’équation.

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) = - \ln (\frac{5}{4})$

Étape 10

Factorisez $t$ à partir de $t \ln (0.92) - t \ln (0.93)$ .

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Étape 10.1

Factorisez $t$ à partir de $t \ln (0.92)$ .

$t (\ln (0.92)) - t \ln (0.93) = - \ln (\frac{5}{4})$

Étape 10.2

Factorisez $t$ à partir de $- t \ln (0.93)$ .

$t (\ln (0.92)) + t (- 1 \ln (0.93)) = - \ln (\frac{5}{4})$

Étape 10.3

Factorisez $t$ à partir de $t (\ln (0.92)) + t (- 1 \ln (0.93))$ .

$t (\ln (0.92) - 1 \ln (0.93)) = - \ln (\frac{5}{4})$

Étape 11

Réécrivez $- 1 \ln (0.93)$ comme $- \ln (0.93)$ .

$t (\ln (0.92) - \ln (0.93)) = - \ln (\frac{5}{4})$

Étape 12

Divisez chaque terme dans $t (\ln (0.92) - \ln (0.93)) = - \ln (\frac{5}{4})$ par $\ln (0.92) - \ln (0.93)$ et simplifiez.

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Étape 12.1

Divisez chaque terme dans $t (\ln (0.92) - \ln (0.93)) = - \ln (\frac{5}{4})$ par $\ln (0.92) - \ln (0.93)$ .

$\frac{t (\ln (0.92) - \ln (0.93))}{\ln (0.92) - \ln (0.93)} = \frac{- \ln (\frac{5}{4})}{\ln (0.92) - \ln (0.93)}$

Étape 12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (0.92) - \ln (0.93)$ .

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Étape 12.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t (\ln (0.92) - \ln (0.93))}{\ln (0.92) - \ln (0.93)} = \frac{- \ln (\frac{5}{4})}{\ln (0.92) - \ln (0.93)}$

Étape 12.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{- \ln (\frac{5}{4})}{\ln (0.92) - \ln (0.93)}$

Étape 12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{\ln (\frac{5}{4})}{\ln (0.92) - \ln (0.93)}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$t = - \frac{\ln (\frac{5}{4})}{\ln (0.92) - \ln (0.93)}$

Forme décimale :

$t = 20.64057746 \dots$