Pré-calcul Exemples

$4 e^{6 t} = 6 e^{5 t}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4 e^{6 t}) = \ln (6 e^{5 t})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (4 e^{6 t})$ comme $\ln (4) + \ln (e^{6 t})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{6 t}) = \ln (6 e^{5 t})$

Étape 2.2

Développez $\ln (e^{6 t})$ en déplaçant $6 t$ hors du logarithme.

$\ln (4) + 6 t \ln (e) = \ln (6 e^{5 t})$

Étape 2.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (4) + 6 t \cdot 1 = \ln (6 e^{5 t})$

Étape 2.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$\ln (4) + 6 t = \ln (6 e^{5 t})$

Étape 3

Développez le côté droit.

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Étape 3.1

Réécrivez $\ln (6 e^{5 t})$ comme $\ln (6) + \ln (e^{5 t})$ .

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + \ln (e^{5 t})$

Étape 3.2

Développez $\ln (e^{5 t})$ en déplaçant $5 t$ hors du logarithme.

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + 5 t \ln (e)$

Étape 3.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + 5 t \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + 5 t$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (4) - \ln (6) = - 6 t + 5 t$

Étape 5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{6}) = - 6 t + 5 t$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\ln (\frac{2 (2)}{6}) = - 6 t + 5 t$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) = - 6 t + 5 t$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) = - 6 t + 5 t$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{2}{3}) = - 6 t + 5 t$

Étape 7

Additionnez $- 6 t$ et $5 t$ .

$\ln (\frac{2}{3}) = - t$

Étape 8

Comme $t$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- t = \ln (\frac{2}{3})$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $- t = \ln (\frac{2}{3})$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $- t = \ln (\frac{2}{3})$ par $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{t}{1} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$

Étape 9.2.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$ .

$t = - 1 \cdot \ln (\frac{2}{3})$

Étape 9.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (\frac{2}{3})$ comme $- \ln (\frac{2}{3})$ .

$t = - \ln (\frac{2}{3})$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$t = - \ln (\frac{2}{3})$

Forme décimale :

$t = 0.40546510 \dots$