Pré-calcul Exemples

${(\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})}^{2} - {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2}$

Étape 1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{4} - {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2}$

Étape 1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{4} - \frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{4} - \frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ comme $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3.2

Développez $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} (e^{x} + e^{- x}) + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x + x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.1.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{e^{2 x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $e^{x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{2 x} + e^{x - x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{e^{2 x} + e^{0} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{2 x} + 1 + e^{- x + x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.4.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 + e^{0} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.5

Simplifiez $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x - x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.6.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- 2 x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Étape 3.4

Réécrivez ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ comme $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - ((e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}))}{4}$

Étape 3.5

Développez $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}))}{4}$

Étape 3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}))}{4}$

Étape 3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Étape 3.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Étape 3.6.1.1.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Étape 3.6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Étape 3.6.1.3

Multipliez $e^{x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1.3.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Étape 3.6.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Étape 3.6.1.3.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Étape 3.6.1.4

Simplifiez $- e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Étape 3.6.1.5

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1.5.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Étape 3.6.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Étape 3.6.1.5.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Étape 3.6.1.6

Simplifiez $- e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Étape 3.6.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x})}{4}$

Étape 3.6.1.8

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1.8.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}))}{4}$

Étape 3.6.1.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x})}{4}$

Étape 3.6.1.8.3

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x})}{4}$

Étape 3.6.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x})}{4}$

Étape 3.6.1.10

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x})}{4}$

Étape 3.6.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x})}{4}$

Étape 3.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - e^{2 x} - - 2 - e^{- 2 x}}{4}$

Étape 3.8

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - e^{2 x} + 2 - e^{- 2 x}}{4}$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.1

Associez les termes opposés dans $e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - e^{2 x} + 2 - e^{- 2 x}$ .

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Étape 4.1.1

Soustrayez $e^{2 x}$ de $e^{2 x}$ .

$\frac{0 + 2 + e^{- 2 x} + 2 - e^{- 2 x}}{4}$

Étape 4.1.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{2 + e^{- 2 x} + 2 - e^{- 2 x}}{4}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x}$ .

$\frac{2 + 0 + 2}{4}$

Étape 4.1.4

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2 + 2}{4}$

Étape 4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{4}{4}$

Étape 4.2.2

Divisez $4$ par $4$ .

$1$