Pré-calcul Exemples

$\frac{{(\sin (x) + \tan (x))}^{2} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{{(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ comme $(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

$\frac{(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.3

Développez $(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 1.4.1.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 1.4.1.2.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.2.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.3

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

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Étape 1.4.1.3.1

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 1.4.1.4.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.4.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.4.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.4.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.1.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.2

Additionnez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ et $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.5

Associez $2$ et $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x) - \sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.6

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\tan (x)}$

Étape 1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\tan (x)}$

Étape 1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sin^{2} (x) + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\tan (x)}$

Étape 1.9

Réécrivez $\sin^{2} (x) + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ en forme factorisée.

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Étape 1.9.1

Laissez $u = \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ . Remplacez toutes les occurrences de $\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ par $u$ .

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Étape 1.9.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{u + 0}{\tan (x)}$

Étape 1.9.1.2

Additionnez $u$ et $0$ .

$\frac{u}{\tan (x)}$

Étape 1.9.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{\tan (x)}$

Étape 2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 4

Associez.

$\frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $\sin^{2} (x)$ et $\sin (x)$ .

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Étape 5.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \sin (x) \cos (x))}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \sin (x) \cos (x))}{\sin (x) \cos (x)}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) (2 \sin (x) \cos (x))}{\sin (x) \cos (x)}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 6.2

Divisez $2 \sin (x)$ par $1$ .

$2 \sin (x)$