Pré-calcul Exemples

${(4 (\cos (110) + i \sin (110)))}^{3}$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

${(4 \cos (110) + 4 (i \sin (110)))}^{3}$

Étape 2

Utilisez le théorème du binôme.

${(4 \cos (110))}^{3} + 3 {(4 \cos (110))}^{2} (4 i \sin (110)) + 3 (4 \cos (110)) {(4 i \sin (110))}^{2} + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 \cos (110)$ .

$4^{3} \cos^{3} (110) + 3 {(4 \cos (110))}^{2} (4 i \sin (110)) + 3 (4 \cos (110)) {(4 i \sin (110))}^{2} + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64 \cos^{3} (110) + 3 {(4 \cos (110))}^{2} (4 i \sin (110)) + 3 (4 \cos (110)) {(4 i \sin (110))}^{2} + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.3

Appliquez la règle de produit à $4 \cos (110)$ .

$64 \cos^{3} (110) + 3 (4^{2} \cos^{2} (110)) (4 i \sin (110)) + 3 (4 \cos (110)) {(4 i \sin (110))}^{2} + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $4$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.4.1

Déplacez $4$ .

$64 \cos^{3} (110) + 3 (4 \cdot 4^{2} \cos^{2} (110)) (i \sin (110)) + 3 (4 \cos (110)) {(4 i \sin (110))}^{2} + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $4$ par $4^{2}$ .

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Étape 3.1.4.2.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$64 \cos^{3} (110) + 3 (4^{1} \cdot 4^{2} \cos^{2} (110)) (i \sin (110)) + 3 (4 \cos (110)) {(4 i \sin (110))}^{2} + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$64 \cos^{3} (110) + 3 (4^{1 + 2} \cos^{2} (110)) (i \sin (110)) + 3 (4 \cos (110)) {(4 i \sin (110))}^{2} + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$64 \cos^{3} (110) + 3 (4^{3} \cos^{2} (110)) (i \sin (110)) + 3 (4 \cos (110)) {(4 i \sin (110))}^{2} + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.5

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64 \cos^{3} (110) + 3 (64 \cos^{2} (110)) (i \sin (110)) + 3 (4 \cos (110)) {(4 i \sin (110))}^{2} + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.6

Multipliez $64$ par $3$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) (i \sin (110)) + 3 (4 \cos (110)) {(4 i \sin (110))}^{2} + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.7

Multipliez $4$ par $3$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) i \sin (110) + 12 \cos (110) {(4 i \sin (110))}^{2} + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $4 i \sin (110)$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) i \sin (110) + 12 \cos (110) ({(4 i)}^{2} \sin^{2} (110)) + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) i \sin (110) + 12 \cos (110) (4^{2} i^{2} \sin^{2} (110)) + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.9

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) i \sin (110) + 12 \cos (110) (16 i^{2} \sin^{2} (110)) + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) i \sin (110) + 12 \cos (110) (16 \cdot - 1 \sin^{2} (110)) + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.11

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) i \sin (110) + 12 \cos (110) (- 16 \sin^{2} (110)) + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.12

Multipliez $- 16$ par $12$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) i \sin (110) - 192 \cos (110) \sin^{2} (110) + {(4 i \sin (110))}^{3}$

Étape 3.1.13

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.13.1

Appliquez la règle de produit à $4 i \sin (110)$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) i \sin (110) - 192 \cos (110) \sin^{2} (110) + {(4 i)}^{3} \sin^{3} (110)$

Étape 3.1.13.2

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) i \sin (110) - 192 \cos (110) \sin^{2} (110) + 4^{3} i^{3} \sin^{3} (110)$

Étape 3.1.14

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) i \sin (110) - 192 \cos (110) \sin^{2} (110) + 64 i^{3} \sin^{3} (110)$

Étape 3.1.15

Factorisez $i^{2}$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) i \sin (110) - 192 \cos (110) \sin^{2} (110) + 64 (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (110)$

Étape 3.1.16

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) i \sin (110) - 192 \cos (110) \sin^{2} (110) + 64 (- 1 \cdot i) \sin^{3} (110)$

Étape 3.1.17

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) i \sin (110) - 192 \cos (110) \sin^{2} (110) + 64 (- i) \sin^{3} (110)$

Étape 3.1.18

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) i \sin (110) - 192 \cos (110) \sin^{2} (110) - 64 i \sin^{3} (110)$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $64 \cos^{3} (110) + 192 \cos^{2} (110) i \sin (110) - 192 \cos (110) \sin^{2} (110) - 64 i \sin^{3} (110)$ .

$64 \cos^{3} (110) + 192 i \cos^{2} (110) \sin (110) - 192 \cos (110) \sin^{2} (110) - 64 i \sin^{3} (110)$

Étape 3.2.2

Remettez dans l’ordre $64 \cos^{3} (110) + 192 i \cos^{2} (110) \sin (110)$ et $- 192 \cos (110) \sin^{2} (110)$ .

$- 192 \cos (110) \sin^{2} (110) + 64 \cos^{3} (110) + 192 i \cos^{2} (110) \sin (110) - 64 i \sin^{3} (110)$