Pré-calcul Exemples

$\sec (θ) \tan (θ) - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\sec (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (θ)} \tan (θ) - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Étape 1.1.3

Multipliez $\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (θ)}$ par $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Étape 1.1.3.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Étape 1.1.3.3

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Étape 1.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (θ)}{{\cos (θ)}^{1 + 1}} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Étape 1.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Étape 1.1.4

Réécrivez $\cot (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Étape 1.1.5

Multipliez $- \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Étape 1.1.5.1

Associez $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ et $\cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Étape 1.1.5.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Étape 1.1.5.3

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Étape 1.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Étape 1.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 4

Multipliez $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

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Étape 4.1

Associez $\sin (θ)$ et $\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 4.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 4.3

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\sin (θ)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $- \sin (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 7

Multipliez $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Étape 7.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{1} (θ) \sin (θ)$

Étape 7.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)$

Étape 7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Étape 7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{2} (θ)$

Étape 8

Soustrayez $\sin^{2} (θ)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) = 0$

Étape 9

Simplifiez $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ .

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Étape 9.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Étape 9.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ)) - (\sin^{2} (θ)) = 0$

Étape 9.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\cos^{2} (θ)) - (\sin^{2} (θ))$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) = 0$

Étape 9.4

Réorganisez les termes.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) = 0$

Étape 9.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 9.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.6.1

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ à $\tan^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 9.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\tan^{2} (θ) - 1 = 0$

Étape 10

Résolvez $θ$ .

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Étape 10.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan^{2} (θ) = 1$

Étape 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{1}$

Étape 10.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\tan (θ) = \pm 1$

Étape 10.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (θ) = 1$

Étape 10.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (θ) = - 1$

Étape 10.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (θ) = 1, - 1$

Étape 10.5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\tan (θ) = 1$

$\tan (θ) = - 1$

Étape 10.6

Résolvez $θ$ dans $\tan (θ) = 1$ .

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Étape 10.6.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (1)$

Étape 10.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.6.2.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Étape 10.6.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Étape 10.6.4

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 10.6.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 10.6.4.2

Associez les fractions.

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Étape 10.6.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 10.6.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 10.6.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.6.4.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 10.6.4.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Étape 10.6.5

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 10.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 10.6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 10.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 10.6.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 10.6.6

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.7

Résolvez $θ$ dans $\tan (θ) = - 1$ .

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Étape 10.7.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (- 1)$

Étape 10.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.7.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Étape 10.7.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = - \frac{π}{4} - π$

Étape 10.7.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 10.7.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 10.7.4.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 10.7.5

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 10.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 10.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 10.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 10.7.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 10.7.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 10.7.6.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 10.7.6.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 10.7.6.3

Associez les fractions.

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Étape 10.7.6.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 10.7.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 10.7.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.7.6.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 10.7.6.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 10.7.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 10.7.7

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.8

Indiquez toutes les solutions.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.9

Consolidez les réponses.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$