Pré-calcul Exemples

$25^{x} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $25^{x}$ comme ${(5^{2})}^{x}$ .

${(5^{2})}^{x} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Étape 1.2

Réécrivez ${(5^{2})}^{x}$ comme ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Étape 1.3

Laissez $u = 5^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $5^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 12 u + 11 = 0$

Étape 1.4

Factorisez $u^{2} - 12 u + 11$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $11$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 11, - 1$

Étape 1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 11) (u - 1) = 0$

Étape 1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5^{x}$ .

$(5^{x} - 11) (5^{x} - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5^{x} - 11 = 0$

$5^{x} - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $5^{x} - 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $5^{x} - 11$ égal à $0$ .

$5^{x} - 11 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $5^{x} - 11 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’équation.

$5^{x} = 11$

Étape 3.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (5^{x}) = \ln (11)$

Étape 3.2.3

Développez $\ln (5^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (5) = \ln (11)$

Étape 3.2.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = \ln (11)$ par $\ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 3.2.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = \ln (11)$ par $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Étape 3.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Étape 4

Définissez $5^{x} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $5^{x} - 1$ égal à $0$ .

$5^{x} - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $5^{x} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$5^{x} = 1$

Étape 4.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (5^{x}) = \ln (1)$

Étape 4.2.3

Développez $\ln (5^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (5) = \ln (1)$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x \ln (5) = 0$

Étape 4.2.5

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = 0$ par $\ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 4.2.5.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = 0$ par $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{0}{\ln (5)}$

Étape 4.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 4.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{0}{\ln (5)}$

Étape 4.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (5)}$

Étape 4.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.5.3.1

Divisez $0$ par $\ln (5)$ .

$x = 0$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5^{x} - 11) (5^{x} - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}, 0$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}, 0$

Forme décimale :

$x = 1.48989610 \dots, 0$