Pré-calcul Exemples

$240 = x (x + 7) (18 - 2 x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$ .

$x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$

Étape 2

Simplifiez $x (x + 7) (18 - 2 x)$ .

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Étape 2.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

Étape 2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

Étape 2.1.2.2

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$(x^{2} + 7 \cdot x) (18 - 2 x) = 240$

Étape 2.2

Développez $(x^{2} + 7 x) (18 - 2 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (18 - 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Déplacez $18$ à gauche de $x^{2}$ .

$18 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$18 x^{2} - 2 x^{2} x + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$18 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Étape 2.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$18 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Étape 2.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$18 x^{2} - 2 x^{1 + 2} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Étape 2.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $18$ par $7$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 x (- 2 x) = 240$

Étape 2.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x \cdot x = 240$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.6.1

Déplacez $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 (x \cdot x) = 240$

Étape 2.3.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x^{2} = 240$

Étape 2.3.1.7

Multipliez $7$ par $- 2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 14 x^{2} = 240$

Étape 2.3.2

Soustrayez $14 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x = 240$

Étape 3

Soustrayez $240$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 126 x - 240 = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $126 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) - 240 = 0$

Étape 4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 240$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

Étape 4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3})$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

Étape 4.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x)$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120) = 0$

Étape 4.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120)$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x - 120) = 0$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120) = 0$

Étape 4.3

Factorisez.

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Étape 4.3.1

Factorisez $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.3.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

Étape 4.3.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

Étape 4.3.1.3

Remplacez $8$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $8$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.3.1.3.1

Remplacez $8$ dans le polynôme.

$- 8^{3} + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Étape 4.3.1.3.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Étape 4.3.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $512$ .

$- 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Étape 4.3.1.3.4

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$- 512 + 2 \cdot 64 + 63 \cdot 8 - 120$

Étape 4.3.1.3.5

Multipliez $2$ par $64$ .

$- 512 + 128 + 63 \cdot 8 - 120$

Étape 4.3.1.3.6

Additionnez $- 512$ et $128$ .

$- 384 + 63 \cdot 8 - 120$

Étape 4.3.1.3.7

Multipliez $63$ par $8$ .

$- 384 + 504 - 120$

Étape 4.3.1.3.8

Additionnez $- 384$ et $504$ .

$120 - 120$

Étape 4.3.1.3.9

Soustrayez $120$ de $120$ .

$0$

Étape 4.3.1.4

Comme $8$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 8$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120}{x - 8}$

Étape 4.3.1.5

Divisez $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ par $x - 8$ .

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Étape 4.3.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$8$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$63 x$

$120$

Étape 4.3.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$

Étape 4.3.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Étape 4.3.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} + 8 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Étape 4.3.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Étape 4.3.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

Étape 4.3.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

Étape 4.3.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$48 x$

Étape 4.3.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x^{2} + 48 x$

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$

Étape 4.3.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$

Étape 4.3.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

Étape 4.3.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $15 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

Étape 4.3.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							+	$15 x$	-	$120$

Étape 4.3.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $15 x - 120$

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$

Étape 4.3.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$
										$0$

Étape 4.3.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{2} - 6 x + 15$

Étape 4.3.1.6

Écrivez $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ comme un ensemble de facteurs.

$2 ((x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15)) = 0$

Étape 4.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 8 = 0$

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

Étape 6

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 7

Définissez $- x^{2} - 6 x + 15$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $- x^{2} - 6 x + 15$ égal à $0$ .

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $- x^{2} - 6 x + 15 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2.2

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 6$ et $c = 15$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 15)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 15$ .

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Étape 7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Multipliez $4$ par $15$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.2.3.1.3

Additionnez $36$ et $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.2.3.1.4

Réécrivez $96$ comme $4^{2} \cdot 6$ .

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Étape 7.2.3.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $96$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.2.3.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$

Étape 7.2.3.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$

Étape 7.2.3.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$

Étape 7.2.3.5

Réécrivez $- 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$ comme $- (3 \pm 2 \sqrt{6})$ .

$x = - (3 \pm 2 \sqrt{6})$

Étape 7.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$ vraie.

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Forme décimale :

$x = 8, - 7.89897948 \dots, 1.89897948 \dots$