Pré-calcul Exemples

$20 {(1.07)}^{x} = 8 {(1.13)}^{x}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (20 \cdot {1.07}^{x}) = \ln (8 \cdot {1.13}^{x})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (20 \cdot {1.07}^{x})$ comme $\ln (20) + \ln ({1.07}^{x})$ .

$\ln (20) + \ln ({1.07}^{x}) = \ln (8 \cdot {1.13}^{x})$

Étape 2.2

Développez $\ln ({1.07}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (20) + x \ln (1.07) = \ln (8 \cdot {1.13}^{x})$

Étape 3

Développez le côté droit.

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Étape 3.1

Réécrivez $\ln (8 \cdot {1.13}^{x})$ comme $\ln (8) + \ln ({1.13}^{x})$ .

$\ln (20) + x \ln (1.07) = \ln (8) + \ln ({1.13}^{x})$

Étape 3.2

Développez $\ln ({1.13}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (20) + x \ln (1.07) = \ln (8) + x \ln (1.13)$

Étape 4

Remettez dans l’ordre $\ln (20)$ et $x \ln (1.07)$ .

$x \ln (1.07) + \ln (20) = \ln (8) + x \ln (1.13)$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $\ln (8)$ et $x \ln (1.13)$ .

$x \ln (1.07) + \ln (20) = x \ln (1.13) + \ln (8)$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (1.07) + \ln (20) - x \ln (1.13) - \ln (8) = 0$

Étape 7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{20}{8}) = 0$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $20$ et $8$ .

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Étape 8.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{4 (5)}{8}) = 0$

Étape 8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2}) = 0$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2}) = 0$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{5}{2}) = 0$

Étape 9

Soustrayez $\ln (\frac{5}{2})$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) = - \ln (\frac{5}{2})$

Étape 10

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (1.07) - x \ln (1.13)$ .

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Étape 10.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (1.07)$ .

$x (\ln (1.07)) - x \ln (1.13) = - \ln (\frac{5}{2})$

Étape 10.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (1.13)$ .

$x (\ln (1.07)) + x (- 1 \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$

Étape 10.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (1.07)) + x (- 1 \ln (1.13))$ .

$x (\ln (1.07) - 1 \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$

Étape 11

Réécrivez $- 1 \ln (1.13)$ comme $- \ln (1.13)$ .

$x (\ln (1.07) - \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$

Étape 12

Divisez chaque terme dans $x (\ln (1.07) - \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$ par $\ln (1.07) - \ln (1.13)$ et simplifiez.

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Étape 12.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (1.07) - \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$ par $\ln (1.07) - \ln (1.13)$ .

$\frac{x (\ln (1.07) - \ln (1.13))}{\ln (1.07) - \ln (1.13)} = \frac{- \ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

Étape 12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (1.07) - \ln (1.13)$ .

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Étape 12.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (1.07) - \ln (1.13))}{\ln (1.07) - \ln (1.13)} = \frac{- \ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

Étape 12.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

Étape 12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

Forme décimale :

$x = 16.79449763 \dots$