Pré-calcul Exemples

$\ln (- 2 y + 5) - \ln (y + 4) = \ln (- 11 y - 2)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{- 2 y + 5}{y + 4}) = \ln (- 11 y - 2)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$\frac{- 2 y + 5}{y + 4} = - 11 y - 2$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y + 4, 1, 1$

Étape 3.1.2

Supprimez les parenthèses.

$y + 4, 1, 1$

Étape 3.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y + 4$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{- 2 y + 5}{y + 4} = - 11 y - 2$ par $y + 4$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{- 2 y + 5}{y + 4} = - 11 y - 2$ par $y + 4$ .

$\frac{- 2 y + 5}{y + 4} (y + 4) = - 11 y (y + 4) - 2 (y + 4)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 4$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y + 5}{y + 4} (y + 4) = - 11 y (y + 4) - 2 (y + 4)$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 y + 5 = - 11 y (y + 4) - 2 (y + 4)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 y + 5 = - 11 y \cdot y - 11 y \cdot 4 - 2 (y + 4)$

Étape 3.2.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$- 2 y + 5 = - 11 (y \cdot y) - 11 y \cdot 4 - 2 (y + 4)$

Étape 3.2.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 2 y + 5 = - 11 y^{2} - 11 y \cdot 4 - 2 (y + 4)$

Étape 3.2.3.1.3

Multipliez $4$ par $- 11$ .

$- 2 y + 5 = - 11 y^{2} - 44 y - 2 (y + 4)$

Étape 3.2.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 y + 5 = - 11 y^{2} - 44 y - 2 y - 2 \cdot 4$

Étape 3.2.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- 2 y + 5 = - 11 y^{2} - 44 y - 2 y - 8$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $2 y$ de $- 44 y$ .

$- 2 y + 5 = - 11 y^{2} - 46 y - 8$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 11 y^{2} - 46 y - 8 = - 2 y + 5$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 11 y^{2} - 46 y - 8 + 2 y = 5$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 46 y$ et $2 y$ .

$- 11 y^{2} - 44 y - 8 = 5$

Étape 3.3.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- 11 y^{2} - 44 y - 8 - 5 = 0$

Étape 3.3.3.2

Soustrayez $5$ de $- 8$ .

$- 11 y^{2} - 44 y - 13 = 0$

Étape 3.3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3.5

Remplacez les valeurs $a = - 11$ , $b = - 44$ et $c = - 13$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{44 \pm \sqrt{{(- 44)}^{2} - 4 \cdot (- 11 \cdot - 13)}}{2 \cdot - 11}$

Étape 3.3.6

Simplifiez

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Étape 3.3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.6.1.1

Élevez $- 44$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 4 \cdot - 11 \cdot - 13}}{2 \cdot - 11}$

Étape 3.3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 11 \cdot - 13$ .

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Étape 3.3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 11$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{1936 + 44 \cdot - 13}}{2 \cdot - 11}$

Étape 3.3.6.1.2.2

Multipliez $44$ par $- 13$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 572}}{2 \cdot - 11}$

Étape 3.3.6.1.3

Soustrayez $572$ de $1936$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{1364}}{2 \cdot - 11}$

Étape 3.3.6.1.4

Réécrivez $1364$ comme $2^{2} \cdot 341$ .

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Étape 3.3.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $1364$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{4 (341)}}{2 \cdot - 11}$

Étape 3.3.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 341}}{2 \cdot - 11}$

Étape 3.3.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{44 \pm 2 \sqrt{341}}{2 \cdot - 11}$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 11$ .

$y = \frac{44 \pm 2 \sqrt{341}}{- 22}$

Étape 3.3.6.3

Simplifiez $\frac{44 \pm 2 \sqrt{341}}{- 22}$ .

$y = \frac{22 \pm \sqrt{341}}{- 11}$

Étape 3.3.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{22 \pm \sqrt{341}}{11}$

Étape 3.3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{22 + \sqrt{341}}{11}, - \frac{22 - \sqrt{341}}{11}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = - \frac{22 + \sqrt{341}}{11}, - \frac{22 - \sqrt{341}}{11}$

Forme décimale :

$y = - 3.67874411 \dots, - 0.32125588 \dots$