Pré-calcul Exemples

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $1 + 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + 2 e^{y}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $x (1 + 2 e^{y})$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

Étape 3.2.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $2 x e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

Étape 4.2

Factorisez $e^{y}$ à partir de $e^{y} - 2 x e^{y}$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez par $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

Étape 4.2.2

Factorisez $e^{y}$ à partir de $- 2 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

Étape 4.2.3

Factorisez $e^{y}$ à partir de $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ .

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $e^{y} (1 - 2 x) = x$ par $1 - 2 x$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $e^{y} (1 - 2 x) = x$ par $1 - 2 x$ .

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - 2 x$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $e^{y}$ par $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Étape 4.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Étape 4.5

Développez le côté gauche.

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Étape 4.5.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Étape 4.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Étape 4.5.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$