Pré-calcul Exemples

$\csc^{2} (x) = \frac{4}{3}$

Étape 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Étape 2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\csc (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 5

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 5.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 5.3

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{3}$

Étape 5.4

Simplifiez $π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 5.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 5.4.3.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 5.5

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.6

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 6.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Étape 6.4.2

L’angle résultant de $\frac{4 π}{3}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Étape 6.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.6.3

Associez les fractions.

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Étape 6.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Étape 6.6.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Étape 6.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 6.7

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les solutions.

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Étape 8.1

Consolidez $\frac{π}{3} + 2 π n$ et $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Consolidez $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ et $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$