Pré-calcul Exemples

$\log (x) + \log (x + 6) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x + 6)) = 1$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot x + x \cdot 6) = 1$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 6) = 1$

Étape 1.3.2

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$\log (x^{2} + 6 x) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log (x^{2} + 6 x) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x^{2} + 6 x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + 6 x = 10^{1}$ .

$x^{2} + 6 x = 10$

Étape 3.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 6 x - 10 = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 6$ et $c = - 10$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 10$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 40}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.3

Additionnez $36$ et $40$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.4

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

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Étape 3.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{19}$

Étape 3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 3 + \sqrt{19}, - 3 - \sqrt{19}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (x) + \log (x + 6) = 1$ vrai.

$x = - 3 + \sqrt{19}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 3 + \sqrt{19}$

Forme décimale :

$x = 1.35889894 \dots$