Pré-calcul Exemples

$\log (2 x + 1) = \log (x - 3) + \log (x + 5)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez $\log (x - 3) + \log (x + 5)$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (2 x + 1) = \log ((x - 3) (x + 5))$

Étape 1.1.2

Développez $(x - 3) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log (2 x + 1) = \log (x (x + 5) - 3 (x + 5))$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (2 x + 1) = \log (x \cdot x + x \cdot 5 - 3 (x + 5))$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log (2 x + 1) = \log (x \cdot x + x \cdot 5 - 3 x - 3 \cdot 5)$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + x \cdot 5 - 3 x - 3 \cdot 5)$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 5 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 5)$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 5 x - 3 x - 15)$

Étape 1.1.3.2

Soustrayez $3 x$ de $5 x$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 2 x - 15)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$2 x + 1 = x^{2} + 2 x - 15$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 2 x - 15 = 2 x + 1$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x - 15 - 2 x = 1$

Étape 3.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 2 x - 15 - 2 x$ .

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$x^{2} + 0 - 15 = 1$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} - 15 = 1$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1 + 15$

Étape 3.3.2

Additionnez $1$ et $15$ .

$x^{2} = 16$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 3.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (2 x + 1) = \log (x - 3) + \log (x + 5)$ vrai.

$x = 4$