Pré-calcul Exemples

$\log (3 x - 1) + \log (x + 5) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((3 x - 1) (x + 5)) = 1$

Étape 1.2

Développez $(3 x - 1) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log (3 x (x + 5) - 1 (x + 5)) = 1$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 - 1 (x + 5)) = 1$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5) = 1$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5) = 1$

Étape 1.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5) = 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\log (3 x^{2} + 15 x - 1 x - 1 \cdot 5) = 1$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\log (3 x^{2} + 15 x - x - 1 \cdot 5) = 1$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\log (3 x^{2} + 15 x - x - 5) = 1$

Étape 1.3.2

Soustrayez $x$ de $15 x$ .

$\log (3 x^{2} + 14 x - 5) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log (3 x^{2} + 14 x - 5) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 x^{2} + 14 x - 5$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $3 x^{2} + 14 x - 5 = 10^{1}$ .

$3 x^{2} + 14 x - 5 = 10$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 14 x - 5 - 10 = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $10$ de $- 5$ .

$3 x^{2} + 14 x - 15 = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = 14$ et $c = - 15$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 15)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot - 15}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 15$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot - 15}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 15$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 180}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.1.3

Additionnez $196$ et $180$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{376}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.1.4

Réécrivez $376$ comme $2^{2} \cdot 94$ .

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Étape 3.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $376$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (94)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 94}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{94}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{94}}{6}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{94}}{6}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{94}}{3}$

Étape 3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{7 - \sqrt{94}}{3}, - \frac{7 + \sqrt{94}}{3}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (3 x - 1) + \log (x + 5) = 1$ vrai.

$x = - \frac{7 - \sqrt{94}}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{7 - \sqrt{94}}{3}$

Forme décimale :

$x = 0.89845323 \dots$