Pré-calcul Exemples

$\log (x) + \log (x - 3) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x - 3)) = 2$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 3) = 2$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 3) = 2$

Étape 1.3.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\log (x^{2} - 3 x) = 2$

Étape 2

Réécrivez $\log (x^{2} - 3 x) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{2} = x^{2} - 3 x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} - 3 x = 10^{2}$ .

$x^{2} - 3 x = 10^{2}$

Étape 3.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 3 x = 100$

Étape 3.3

Soustrayez $100$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x - 100 = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3$ et $c = - 100$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 100)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 100$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 100$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 400}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3

Additionnez $9$ et $400$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{409}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{409}}{2}$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{409}}{2}, \frac{3 - \sqrt{409}}{2}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (x) + \log (x - 3) = 2$ vrai.

$x = \frac{3 + \sqrt{409}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{3 + \sqrt{409}}{2}$

Forme décimale :

$x = 11.61187420 \dots$