Pré-calcul Exemples

$\log (x + 6) - \log (x + 2) = \log (x)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x + 6}{x + 2}) = \log (x)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$\frac{x + 6}{x + 2} = x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x + 2, 1$

Étape 3.1.2

Supprimez les parenthèses.

$x + 2, 1$

Étape 3.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + 2$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{x + 6}{x + 2} = x$ par $x + 2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x + 6}{x + 2} = x$ par $x + 2$ .

$\frac{x + 6}{x + 2} (x + 2) = x (x + 2)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 6}{x + 2} (x + 2) = x (x + 2)$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x + 6 = x (x + 2)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 6 = x \cdot x + x \cdot 2$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.3.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 6 = x^{2} + x \cdot 2$

Étape 3.2.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x + 6 = x^{2} + 2 x$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 2 x = x + 6$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x - x = 6$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$x^{2} + x = 6$

Étape 3.3.3

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Étape 3.3.4

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 3.3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Étape 3.3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 3.3.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.3.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.3.7

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.7.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.3.7.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 2, - 3$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (x + 6) - \log (x + 2) = \log (x)$ vrai.

$x = 2$