Pré-calcul Exemples

$\log (x - 2) + \log (3 x + 3) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (3 x + 3)) = 1$

Étape 1.2

Développez $(x - 2) (3 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x (3 x + 3) - 2 (3 x + 3)) = 1$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x (3 x) + x \cdot 3 - 2 (3 x + 3)) = 1$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x (3 x) + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\log (3 x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (3 x^{2} + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Étape 1.3.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 \cdot x - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x - 6 x - 2 \cdot 3) = 1$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x - 6 x - 6) = 1$

Étape 1.3.2

Soustrayez $6 x$ de $3 x$ .

$\log (3 x^{2} - 3 x - 6) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log (3 x^{2} - 3 x - 6) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 x^{2} - 3 x - 6$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $3 x^{2} - 3 x - 6 = 10^{1}$ .

$3 x^{2} - 3 x - 6 = 10$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 3 x - 6 - 10 = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $10$ de $- 6$ .

$3 x^{2} - 3 x - 16 = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 3$ et $c = - 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 16)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot - 16}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 16$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot - 16}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 16$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 192}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.1.3

Additionnez $9$ et $192$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{201}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{201}}{6}$

Étape 3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}, \frac{3 - \sqrt{201}}{6}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (x - 2) + \log (3 x + 3) = 1$ vrai.

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}$

Forme décimale :

$x = 2.86290781 \dots$