Pré-calcul Exemples

$\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) = 1 + \log (x - 4)$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) - \log (x - 4) = 1$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} + 16}{x + 4}}{x - 4}) = 1$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4} \cdot \frac{1}{x - 4}) = 1$

Étape 5

Multipliez $\frac{x^{2} + 16}{x + 4}$ par $\frac{1}{x - 4}$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$

Étape 6

Réécrivez $\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 7

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x^{2} + 16 = 10 ((x + 4) (x - 4))$

Étape 8

Simplifiez $10 ((x + 4) (x - 4))$ .

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Étape 8.1

Développez $(x + 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 16 = 10 (x (x - 4) + 4 (x - 4))$

Étape 8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4))$

Étape 8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Étape 8.2

Simplifiez les termes.

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Étape 8.2.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Étape 8.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 4$ et $4 x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Étape 8.2.1.2

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4)$

Étape 8.2.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 4 \cdot - 4)$

Étape 8.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} - 16)$

Étape 8.2.3

Simplifiez en multipliant.

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Étape 8.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} + 10 \cdot - 16$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $10$ par $- 16$ .

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} - 160$

Étape 9

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Soustrayez $10 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 16 - 10 x^{2} = - 160$

Étape 9.2

Soustrayez $10 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 16 = - 160$

Étape 10

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 4^{2} = - 160$

Étape 10.2

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$- {(3 x)}^{2} + 4^{2} = - 160$

Étape 10.3

Remettez dans l’ordre $- {(3 x)}^{2}$ et $4^{2}$ .

$4^{2} - {(3 x)}^{2} = - 160$

Étape 10.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = 3 x$ .

$(4 + 3 x) (4 - (3 x)) = - 160$

Étape 10.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(4 + 3 x) (4 - 3 x) = - 160$

Étape 11

Simplifiez $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ .

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Étape 11.1

Développez $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (4 - 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Étape 11.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Étape 11.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Étape 11.2

Simplifiez les termes.

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Étape 11.2.1

Associez les termes opposés dans $4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x)$ .

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Étape 11.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $4 (- 3 x)$ et $3 x \cdot 4$ .

$4 \cdot 4 - 3 \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x + 3 x (- 3 x) = - 160$

Étape 11.2.1.2

Additionnez $- 3 \cdot 4 x$ et $3 \cdot 4 x$ .

$4 \cdot 4 + 0 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Étape 11.2.1.3

Additionnez $4 \cdot 4$ et $0$ .

$4 \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Étape 11.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Étape 11.2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 + 3 \cdot - 3 x \cdot x = - 160$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.2.3.1

Déplacez $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 (x \cdot x) = - 160$

Étape 11.2.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 x^{2} = - 160$

Étape 11.2.2.4

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$16 - 9 x^{2} = - 160$

Étape 12

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- 9 x^{2} = - 160 - 16$

Étape 12.2

Soustrayez $16$ de $- 160$ .

$- 9 x^{2} = - 176$

Étape 13

Divisez chaque terme dans $- 9 x^{2} = - 176$ par $- 9$ et simplifiez.

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Étape 13.1

Divisez chaque terme dans $- 9 x^{2} = - 176$ par $- 9$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Étape 13.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun de $- 9$ .

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Étape 13.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Étape 13.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 176}{- 9}$

Étape 13.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{176}{9}$

Étape 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{176}{9}}$

Étape 15

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{176}{9}}$ .

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Étape 15.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{176}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$

Étape 15.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1

Réécrivez $176$ comme $4^{2} \cdot 11$ .

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Étape 15.2.1.1

Factorisez $16$ à partir de $176$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16 (11)}}{\sqrt{9}}$

Étape 15.2.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 11}}{\sqrt{9}}$

Étape 15.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{9}}$

Étape 15.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 15.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Étape 16

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 16.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Étape 16.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Étape 16.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}, - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Étape 17

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$ vrai.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Étape 18

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Forme décimale :

$x = 4.42216638 \dots$