Pré-calcul Exemples

$\ln (x - 9) - \ln (x + 1) = \ln (x - 9) - \ln (x + 5)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 9}{x + 1}) = \ln (x - 9) - \ln (x + 5)$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 9}{x + 1}) = \ln (\frac{x - 9}{x + 5})$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$\frac{x - 9}{x + 1} = \frac{x - 9}{x + 5}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$(x - 9) (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

Étape 4.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez $(x - 9) (x + 5)$ .

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x - 9) (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(x - 9) (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

Étape 4.2.1.3

Développez $(x - 9) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 5) - 9 (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

Étape 4.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 5 - 9 (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

Étape 4.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 5 - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 5 - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)$

Étape 4.2.1.4.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 5 \cdot x - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)$

Étape 4.2.1.4.1.3

Multipliez $- 9$ par $5$ .

$x^{2} + 5 x - 9 x - 45 = (x + 1) (x - 9)$

Étape 4.2.1.4.2

Soustrayez $9 x$ de $5 x$ .

$x^{2} - 4 x - 45 = (x + 1) (x - 9)$

Étape 4.2.2

Simplifiez $(x + 1) (x - 9)$ .

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Étape 4.2.2.1

Développez $(x + 1) (x - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 4 x - 45 = x (x - 9) + 1 (x - 9)$

Étape 4.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 4 x - 45 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 1 (x - 9)$

Étape 4.2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 4 x - 45 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} + x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9$

Étape 4.2.2.2.1.2

Déplacez $- 9$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 9$

Étape 4.2.2.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 x + x + 1 \cdot - 9$

Étape 4.2.2.2.1.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 x + x - 9$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- 9 x$ et $x$ .

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 8 x - 9$

Étape 4.2.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x - 45 - x^{2} = - 8 x - 9$

Étape 4.2.3.2

Ajoutez $8 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x - 45 - x^{2} + 8 x = - 9$

Étape 4.2.3.3

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 4 x - 45 - x^{2} + 8 x$ .

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Étape 4.2.3.3.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 4 x - 45 + 0 + 8 x = - 9$

Étape 4.2.3.3.2

Additionnez $- 4 x - 45$ et $0$ .

$- 4 x - 45 + 8 x = - 9$

Étape 4.2.3.4

Additionnez $- 4 x$ et $8 x$ .

$4 x - 45 = - 9$

Étape 4.2.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.4.1

Ajoutez $45$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = - 9 + 45$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $- 9$ et $45$ .

$4 x = 36$

Étape 4.2.5

Divisez chaque terme dans $4 x = 36$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.2.5.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 36$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{36}{4}$

Étape 4.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{36}{4}$

Étape 4.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{36}{4}$

Étape 4.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.5.3.1

Divisez $36$ par $4$ .

$x = 9$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x - 9) - \ln (x + 1) = \ln (x - 9) - \ln (x + 5)$ vrai.

$Aucune solution$