Pré-calcul Exemples

$\ln (x - 3) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 24)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 3) (x - 2)) = \ln (2 x + 24)$

Étape 1.2

Développez $(x - 3) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x (x - 2) - 3 (x - 2)) = \ln (2 x + 24)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 2 - 3 (x - 2)) = \ln (2 x + 24)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2) = \ln (2 x + 24)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2) = \ln (2 x + 24)$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\ln (x^{2} - 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 2) = \ln (2 x + 24)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$\ln (x^{2} - 2 x - 3 x + 6) = \ln (2 x + 24)$

Étape 1.3.2

Soustrayez $3 x$ de $- 2 x$ .

$\ln (x^{2} - 5 x + 6) = \ln (2 x + 24)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} - 5 x + 6 = 2 x + 24$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 5 x + 6 - 2 x = 24$

Étape 3.1.2

Soustrayez $2 x$ de $- 5 x$ .

$x^{2} - 7 x + 6 = 24$

Étape 3.2

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 7 x + 6 - 24 = 0$

Étape 3.3

Soustrayez $24$ de $6$ .

$x^{2} - 7 x - 18 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $x^{2} - 7 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 9, 2$

Étape 3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 9) (x + 2) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 3.6

Définissez $x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 3.7

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 3.7.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 9) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 9, - 2$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x - 3) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 24)$ vrai.

$x = 9$