Pré-calcul Exemples

$\ln (x) = \ln (x + 6) - \ln (x - 4)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x) = \ln (\frac{x + 6}{x - 4})$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x = \frac{x + 6}{x - 4}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x - 4$

Étape 3.1.2

Supprimez les parenthèses.

$1, x - 4$

Étape 3.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x - 4$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $x = \frac{x + 6}{x - 4}$ par $x - 4$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $x = \frac{x + 6}{x - 4}$ par $x - 4$ .

$x (x - 4) = \frac{x + 6}{x - 4} (x - 4)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 4 = \frac{x + 6}{x - 4} (x - 4)$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 = \frac{x + 6}{x - 4} (x - 4)$

Étape 3.2.2.2.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{x + 6}{x - 4} (x - 4)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 4 x = \frac{x + 6}{x - 4} (x - 4)$

Étape 3.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 4 x = x + 6$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x - x = 6$

Étape 3.3.1.2

Soustrayez $x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} - 5 x = 6$

Étape 3.3.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Étape 3.3.3

Factorisez $x^{2} - 5 x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 6, 1$

Étape 3.3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 6) (x + 1) = 0$

Étape 3.3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 3.3.5

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.5.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 3.3.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 3.3.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.3.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 6, - 1$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x) = \ln (x + 6) - \ln (x - 4)$ vrai.

$x = 6$