Pré-calcul Exemples

$\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x) = \ln (\frac{3 x + 1}{x + 1})$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x + 1$

Étape 3.1.2

Supprimez les parenthèses.

$1, x + 1$

Étape 3.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + 1$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ par $x + 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ par $x + 1$ .

$x (x + 1) = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Étape 3.2.2.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Étape 3.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + x = 3 x + 1$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1.1

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x - 3 x = 1$

Étape 3.3.1.2

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$x^{2} - 2 x = 1$

Étape 3.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Étape 3.3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5

Simplifiez

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Étape 3.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.3.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.3.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 3.3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$ vrai.

$x = 1 + \sqrt{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 1 + \sqrt{2}$

Forme décimale :

$x = 2.41421356 \dots$