Pré-calcul Exemples

$\ln (x + 1) + \ln (x - 1) = \ln (8)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x + 1) (x - 1)) = \ln (8)$

Étape 1.2

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x (x - 1) + 1 (x - 1)) = \ln (8)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) = \ln (8)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\ln (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\ln (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (x^{2} - x + x - 1) = \ln (8)$

Étape 1.3.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\ln (x^{2} + 0 - 1) = \ln (8)$

Étape 1.3.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\ln (x^{2} - 1) = \ln (8)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} - 1 = 8$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 8 + 1$

Étape 3.1.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$x^{2} = 9$

Étape 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x + 1) + \ln (x - 1) = \ln (8)$ vrai.

$x = 3$