Pré-calcul Exemples

$\ln (- x + 1) - \ln (3 x + 5) = \ln (- 6 x + 1)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{- x + 1}{3 x + 5}) = \ln (- 6 x + 1)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$\frac{- x + 1}{3 x + 5} = - 6 x + 1$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3 x + 5, 1, 1$

Étape 3.1.2

Supprimez les parenthèses.

$3 x + 5, 1, 1$

Étape 3.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$3 x + 5$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{- x + 1}{3 x + 5} = - 6 x + 1$ par $3 x + 5$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{- x + 1}{3 x + 5} = - 6 x + 1$ par $3 x + 5$ .

$\frac{- x + 1}{3 x + 5} (3 x + 5) = - 6 x (3 x + 5) + 1 (3 x + 5)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3 x + 5$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x + 1}{3 x + 5} (3 x + 5) = - 6 x (3 x + 5) + 1 (3 x + 5)$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$- x + 1 = - 6 x (3 x + 5) + 1 (3 x + 5)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x + 1 = - 6 x (3 x) - 6 x \cdot 5 + 1 (3 x + 5)$

Étape 3.2.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 x \cdot x - 6 x \cdot 5 + 1 (3 x + 5)$

Étape 3.2.3.1.3

Multipliez $5$ par $- 6$ .

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 x \cdot x - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Étape 3.2.3.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.4.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.3.1.4.1.1

Déplacez $x$ .

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 (x \cdot x) - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Étape 3.2.3.1.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 x^{2} - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Étape 3.2.3.1.4.2

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$- x + 1 = - 18 x^{2} - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Étape 3.2.3.1.5

Multipliez $3 x + 5$ par $1$ .

$- x + 1 = - 18 x^{2} - 30 x + 3 x + 5$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $- 30 x$ et $3 x$ .

$- x + 1 = - 18 x^{2} - 27 x + 5$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 18 x^{2} - 27 x + 5 = - x + 1$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$- 18 x^{2} - 27 x + 5 + x = 1$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 27 x$ et $x$ .

$- 18 x^{2} - 26 x + 5 = 1$

Étape 3.3.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 18 x^{2} - 26 x + 5 - 1 = 0$

Étape 3.3.4

Soustrayez $1$ de $5$ .

$- 18 x^{2} - 26 x + 4 = 0$

Étape 3.3.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 18 x^{2} - 26 x + 4$ .

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Étape 3.3.5.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 18 x^{2}$ .

$- 2 (9 x^{2}) - 26 x + 4 = 0$

Étape 3.3.5.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 26 x$ .

$- 2 (9 x^{2}) - 2 (13 x) + 4 = 0$

Étape 3.3.5.3

Factorisez $- 2$ à partir de $4$ .

$- 2 (9 x^{2}) - 2 (13 x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 3.3.5.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (9 x^{2}) - 2 (13 x)$ .

$- 2 (9 x^{2} + 13 x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 3.3.5.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (9 x^{2} + 13 x) - 2 (- 2)$ .

$- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2) = 0$

Étape 3.3.6

Divisez chaque terme dans $- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2) = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.6.1

Divisez chaque terme dans $- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2) = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 3.3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 3.3.6.2.1.2

Divisez $9 x^{2} + 13 x - 2$ par $1$ .

$9 x^{2} + 13 x - 2 = \frac{0}{- 2}$

Étape 3.3.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.6.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$9 x^{2} + 13 x - 2 = 0$

Étape 3.3.7

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3.8

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = 13$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 2)}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.9

Simplifiez

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Étape 3.3.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.9.1.1

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.9.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

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Étape 3.3.9.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.9.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 72}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.9.1.3

Additionnez $169$ et $72$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{241}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.9.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{241}}{18}$

Étape 3.3.10

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{13 - \sqrt{241}}{18}, - \frac{13 + \sqrt{241}}{18}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{13 - \sqrt{241}}{18}, - \frac{13 + \sqrt{241}}{18}$

Forme décimale :

$x = 0.14023192 \dots, - 1.58467637 \dots$