Pré-calcul Exemples

$\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 x + 5) (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Développez $(2 x + 5) (x - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (2 x (x - 7) + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Étape 1.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Étape 1.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Étape 1.2.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Multipliez $5$ par $- 7$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Étape 1.2.2.2

Additionnez $- 14 x$ et $5 x$ .

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - \ln (x^{2}) = 0$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 2.1.3.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 x$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 (x) - 35}{x^{2}}) = 0$

Étape 2.1.3.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $5$ plus $- 14$

$\ln (\frac{2 x^{2} + (5 - 14) x - 35}{x^{2}}) = 0$

Étape 2.1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Étape 2.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\ln (\frac{(2 x^{2} + 5 x) - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Étape 2.1.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\ln (\frac{x (2 x + 5) - 7 (2 x + 5)}{x^{2}}) = 0$

Étape 2.1.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 5$ .

$\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$(2 x + 5) (x - 7) = e^{0} (x^{2})$

Étape 5

Simplifiez $e^{0} (x^{2})$ .

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Étape 5.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = 1 x^{2}$

Étape 5.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = x^{2}$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$(2 x + 5) (x - 7) - x^{2} = 0$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Développez $(2 x + 5) (x - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (x - 7) + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Étape 6.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Étape 6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Étape 6.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Étape 6.2.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Étape 6.2.2.1.3

Multipliez $5$ par $- 7$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35 - x^{2} = 0$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 14 x$ et $5 x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0$

Étape 6.3

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Étape 7

Ajoutez $35$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 9 x = 35$

Étape 8

Soustrayez $35$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Étape 9

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 10

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 9$ et $c = - 35$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 35)}}{2 \cdot 1}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 35$ .

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Étape 11.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 35$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 140}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.1.3

Additionnez $81$ et $140$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2}$

Étape 12

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}, \frac{9 - \sqrt{221}}{2}$

Étape 13

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$ vrai.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Forme décimale :

$x = 11.93303437 \dots$