Pré-calcul Exemples

$\ln (2 x^{2} + e x) = 2$

Étape 1

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (2 x^{2} + e x)} = e^{2}$

Étape 2

Réécrivez $\ln (2 x^{2} + e x) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2} = 2 x^{2} + e x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{2} + e x = e^{2}$ .

$2 x^{2} + e x = e^{2}$

Étape 3.2

Soustrayez $e^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + e x - e^{2} = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = e$ et $c = - e^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- e \pm \sqrt{e^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{e^{2} - 8 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{e^{2} + 8 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.2

Additionnez $e^{2}$ et $8 e^{2}$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{9 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.3

Réécrivez $9 e^{2}$ comme ${(3 e)}^{2}$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{{(3 e)}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- e \pm 3 e}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- e \pm 3 e}{4}$

Étape 3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{e}{2}, - e$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{e}{2}, - e$

Forme décimale :

$x = 1.35914091 \dots, - 2.71828182 \dots$