Pré-calcul Exemples

$\ln (\sin (x)) = 0$

Étape 1

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\sin (x))} = e^{0}$

Étape 2

Réécrivez $\ln (\sin (x)) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \sin (x)$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sin (x) = e^{0}$ .

$\sin (x) = e^{0}$

Étape 3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\sin (x) = 1$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 3.6

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.6.2

Associez les fractions.

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Étape 3.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 3.6.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$