Pré-calcul Exemples

$\ln (\frac{(2 x + 1) (x - 9)}{x^{2}}) = 0$

Étape 1

Réécrivez $\ln (\frac{(2 x + 1) (x - 9)}{x^{2}}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2 x + 1) (x - 9)}{x^{2}}$

Étape 2

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$(2 x + 1) (x - 9) = e^{0} (x^{2})$

Étape 3

Simplifiez $e^{0} (x^{2})$ .

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Étape 3.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$(2 x + 1) (x - 9) = 1 x^{2}$

Étape 3.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$(2 x + 1) (x - 9) = x^{2}$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$(2 x + 1) (x - 9) - x^{2} = 0$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Développez $(2 x + 1) (x - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (x - 9) + 1 (x - 9) - x^{2} = 0$

Étape 4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 1 (x - 9) - x^{2} = 0$

Étape 4.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Étape 4.2.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$2 x^{2} - 18 x + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x^{2} - 18 x + x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$2 x^{2} - 18 x + x - 9 - x^{2} = 0$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 18 x$ et $x$ .

$2 x^{2} - 17 x - 9 - x^{2} = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 17 x - 9 = 0$

Étape 5

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 17 x = 9$

Étape 6

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 17 x - 9 = 0$

Étape 7

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 17$ et $c = - 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 17$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 1 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 9$ .

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.3

Additionnez $289$ et $36$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{325}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.4

Réécrivez $325$ comme $5^{2} \cdot 13$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $25$ à partir de $325$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{25 (13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.4.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{5^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{17 \pm 5 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{17 \pm 5 \sqrt{13}}{2}$

Étape 10

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{17 + 5 \sqrt{13}}{2}, \frac{17 - 5 \sqrt{13}}{2}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{17 + 5 \sqrt{13}}{2}, \frac{17 - 5 \sqrt{13}}{2}$

Forme décimale :

$x = 17.51387818 \dots, - 0.51387818 \dots$