Pré-calcul Exemples

$\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} \geq 1$

Étape 1

Simplifiez $\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x}$ .

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{6}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{6}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x} \geq 1$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{6}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{6}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 1$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 1) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{6}{x - 1}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{6 x}{(x - 1) x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 1$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{6}{x}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{6 x}{(x - 1) x} - \frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) x$ .

$\frac{6 x}{x (x - 1)} - \frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 x - 6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x - 6 (x - 1)$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$\frac{6 (x) - 6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Étape 1.5.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 (x - 1)$ .

$\frac{6 (x) + 6 (- (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 1$

Étape 1.5.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (x) + 6 (- (x - 1))$ .

$\frac{6 (x - (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 1$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (x - x - - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{6 (x - x + 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Étape 1.5.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{6 (0 + 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Étape 1.5.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{x (x - 1)} \geq 1$

Étape 1.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{6}{x (x - 1)} \geq 1$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $x (x - 1)$ .

$\frac{6}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = 1 (x (x - 1))$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $x (x - 1)$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = 1 (x (x - 1))$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$6 = 1 (x (x - 1))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $1 (x (x - 1))$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.2.1.1.1

Multipliez $x (x - 1)$ par $1$ .

$6 = x (x - 1)$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 = x \cdot x + x \cdot - 1$

Étape 3.2.1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$6 = x^{2} + x \cdot - 1$

Étape 3.2.1.1.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$6 = x^{2} - 1 \cdot x$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$6 = x^{2} - x$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} - x = 6$ .

$x^{2} - x = 6$

Étape 4.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Étape 4.3

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 4.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 4.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.6

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 3, - 2$

Étape 5

Déterminez le domaine de $\frac{6}{x (x - 1)} - 1$ .

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{6}{x (x - 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x (x - 1) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 5.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{6}{(- 4) - 1} - \frac{6}{- 4} \geq 1$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $0.3$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{6}{(- 1) - 1} - \frac{6}{- 1} \geq 1$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $3$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{6}{(0.5) - 1} - \frac{6}{0.5} \geq 1$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $- 24$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.4

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 7.4.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{6}{(2) - 1} - \frac{6}{2} \geq 1$

Étape 7.4.3

Le côté gauche $3$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 7.5.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{6}{(6) - 1} - \frac{6}{6} \geq 1$

Étape 7.5.3

Le côté gauche $0.2$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 1$ Faux

$1 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 1$ Faux

$1 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 \leq x < 0$ ou $1 < x \leq 3$

Étape 9

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[- 2, 0) \cup (1, 3]$

Étape 10