Pré-calcul Exemples

$9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} = 0$

Étape 1.1.3

Factorisez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{4}{2}} = 0$

Étape 1.1.4

Factorisez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot (9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{4}{2}} = 0$

Étape 1.1.5

Factorisez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot (9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{4}{2}}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{4}{2}}) = 0$

Étape 1.2

Factorisez $9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{4}{2}}$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $9$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 9, - 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 9) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

Étape 1.3

Réécrivez ${(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$ comme ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

Étape 1.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3^{2}) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

Étape 1.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ et $b = 3$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

Étape 1.6

Réécrivez ${(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$ comme ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1)) = 0$

Étape 1.7

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2})) = 0$

Étape 1.8

Factorisez.

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Étape 1.8.1

Factorisez.

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Étape 1.8.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ et $b = 1$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1))) = 0$

Étape 1.8.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)) = 0$

Étape 1.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Étape 3

Définissez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 3.2

Résolvez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4

Définissez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = - 3$

Étape 4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.3.1.1

Simplifiez ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 1)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x + 1 = {(- 3)}^{2}$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x + 1 = 9$

Étape 4.2.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = 9 - 1$

Étape 4.2.4.2

Soustrayez $1$ de $9$ .

$x = 8$

Étape 5

Définissez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Étape 5.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.3.1.1

Simplifiez ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 1)}^{1} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x + 1 = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x + 1 = 1$

Étape 5.2.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = 1 - 1$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$x = 0$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, 8, 0$