Pré-calcul Exemples

$9 (9^{x}) - 10 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $9^{x}$ comme ${(3^{2})}^{x}$ .

$9 \cdot {(3^{2})}^{x} - 10 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Étape 1.2

Réécrivez ${(3^{2})}^{x}$ comme ${(3^{x})}^{2}$ .

$9 \cdot {(3^{x})}^{2} - 10 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Étape 1.3

Laissez $u = 3^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $3^{x}$ par $u$ .

$9 u^{2} - 10 u + 1 = 0$

Étape 1.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ et dont la somme est $b = - 10$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10 u$ .

$9 u^{2} - 10 u + 1 = 0$

Étape 1.4.1.2

Réécrivez $- 10$ comme $- 1$ plus $- 9$

$9 u^{2} + (- 1 - 9) u + 1 = 0$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 u^{2} - 1 u - 9 u + 1 = 0$

Étape 1.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(9 u^{2} - 1 u) - 9 u + 1 = 0$

Étape 1.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (9 u - 1) - (9 u - 1) = 0$

Étape 1.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u - 1) = 0$

Étape 1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3^{x}$ .

$(9 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$9 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $9 \cdot 3^{x} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $9 \cdot 3^{x} - 1$ égal à $0$ .

$9 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $9 \cdot 3^{x} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez $9 \cdot 3^{x}$ .

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$3^{2} \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{2 + x} - 1 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3^{2 + x} = 1$

Étape 3.2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{2 + x}) = \ln (1)$

Étape 3.2.4

Développez $\ln (3^{2 + x})$ en déplaçant $2 + x$ hors du logarithme.

$(2 + x) \ln (3) = \ln (1)$

Étape 3.2.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Étape 3.2.6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.6.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$2 \ln (3) + x \ln (3) = 0$

Étape 3.2.7

Remettez dans l’ordre $2 \ln (3)$ et $x \ln (3)$ .

$x \ln (3) + 2 \ln (3) = 0$

Étape 3.2.8

Soustrayez $2 \ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (3) = - 2 \ln (3)$

Étape 3.2.9

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = - 2 \ln (3)$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 3.2.9.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = - 2 \ln (3)$ par $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Étape 3.2.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 3.2.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Étape 3.2.9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Étape 3.2.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.9.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 3.2.9.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Étape 3.2.9.3.1.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$x = - 2$

Étape 4

Définissez $3^{x} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $3^{x} - 1$ égal à $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $3^{x} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3^{x} = 1$

Étape 4.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Étape 4.2.3

Développez $\ln (3^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Étape 4.2.5

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = 0$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 4.2.5.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = 0$ par $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 4.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 4.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 4.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 4.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.5.3.1

Divisez $0$ par $\ln (3)$ .

$x = 0$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(9 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$ vraie.

$x = - 2, 0$