Pré-calcul Exemples

$\sin (3 x - \frac{π}{4}) = 1$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$3 x - \frac{π}{4} = \arcsin (1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Étape 3.5.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{3 π}{4}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{3 π}{4}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{4}$

Étape 5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$3 x - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{2}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 x - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.1.2

Associez les fractions.

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Étape 6.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 6.1.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Étape 6.2.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Étape 6.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Étape 6.2.5.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{3 π}{4}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{3 π}{4}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 6.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 6.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{4}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sin (3 x - \frac{π}{4})$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 8

La période de la fonction $\sin (3 x - \frac{π}{4})$ est $\frac{2 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$